Упражнение 62 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} -x+y-z=14,\\ 3x+y+2z=-2,\\ 2x-y-3z=11. \end{cases}$$

Сложим первое и второе уравнения:

$$(-x+y-z)+(3x+y+2z)=14+(-2)$$
$$2x+2y+z=12.$$

Умножим первое уравнение на $$2$$ и сложим с третьим:

$$2(-x+y-z)+(2x-y-3z)=2\cdot 14+11$$
$$y-5z=39.$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=y-z-14.$$

Подставим в систему и решим её, получаем:

$$x=-7,\quad y=9,\quad z=-4.$$

б)

$$\begin{cases} x+2y+3z=6,\\ 3x+3y+z=6,\\ 3x+y+2z=6. \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=6-2y-3z.$$

Подставим во второе и третье уравнения:

$$3(6-2y-3z)+3y+z=6,$$
$$3(6-2y-3z)+y+2z=6.$$

После упрощения получаем систему:

$$\begin{cases} 3y+8z=12,\\ 5y+7z=12. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$2y-z=0 \quad \Rightarrow \quad z=2y.$$

Подставим в первое:

$$3y+8\cdot 2y=12$$
$$19y=12.$$

Тогда

$$y=\frac{12}{19},\quad z=\frac{24}{19}.$$

Найдём $$x$$:

$$x=6-2\cdot \frac{12}{19}-3\cdot \frac{24}{19}=\frac{18}{19}.$$

Ответ

а) $$(-7;\,9;\,-4)$$;
б) $$\left(\frac{18}{19};\,\frac{12}{19};\,\frac{24}{19}\right)$$.