Упр.6.62 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$4\cdot 9^x-7\cdot 12^x+3\cdot 16^x>0$$

Разделим обе части на $$4^x>0$$:

$$4\left(\frac{9}{4}\right)^x-7\left(\frac{12}{4}\right)^x+3\left(\frac{16}{4}\right)^x>0$$

$$4\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}-7\left(\frac{3}{2}\right)^x+3>0$$

Положим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$4t^2-7t+3>0$$

$$4t^2-7t+3=(4t-3)(t-1)>0$$

Отсюда

$$t\in\left(0,\frac34\right)\cup(1,+\infty).$$

Так как $$\frac32>1,$$ то

$$\left(\frac32\right)^x<\frac34 \;\Longrightarrow\; x<-1,$$

$$\left(\frac32\right)^x>1 \;\Longrightarrow\; x>0.$$

Значит,

$$x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty).$$

б) $$15\cdot 9^x+16\cdot 15^x-15\cdot 25^x\ge 0$$

Разделим на $$5^{2x}>0$$:

$$15\left(\frac95\right)^x+16\left(\frac35\right)^x-15\left(\frac52\right)^x\ge 0$$

Удобно ввести $$t=\left(\frac35\right)^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$15t^2+16t-15\ge 0$$

$$D=16^2-4\cdot 15\cdot(-15)=256+900=1156,$$

$$t_{1,2}=\frac{-16\pm 34}{30},\quad t_1=\frac35,\quad t_2=-\frac53.$$

Так как $$t>0,$$ получаем

$$15t^2+16t-15\ge 0 \;\Longrightarrow\; t\ge \frac35.$$

Следовательно,

$$\left(\frac35\right)^x\ge \frac35.$$

Так как $$0<\frac35<1,$$ знак неравенства при переходе к показателю меняется:

$$x\le 1.$$

Значит,

$$x\in(-\infty,1].$$

в) $$6\cdot 4^x+5\cdot 6^x-6\cdot 9^x\le 0$$

Разделим на $$3^{2x}>0$$:

$$6\left(\frac43\right)^x+5\left(\frac23\right)^x-6\left(\frac32\right)^x\le 0$$

Положим $$t=\left(\frac23\right)^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$6t^2+5t-6\le 0$$

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot(-6)=25+144=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{12},\quad t_1=\frac23,\quad t_2=-\frac32.$$

Так как $$t>0,$$ то

$$6t^2+5t-6\le 0 \;\Longrightarrow\; 0<t\le \frac23.$$

Значит,

$$\left(\frac23\right)^x\le \frac23.$$

Так как $$0<\frac23<1,$$ получаем

$$x\ge 1.$$

Следовательно,

$$x\in[1,+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty,-1)\cup(0,+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty,1]$$; в) $$x\in[1,+\infty)$$.