Упр.6.61 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{2}{\lg x-\lg 0{,}1}-\frac{1}{\lg x}\ge 0$$

   Так как $$\lg 0{,}1=-1,$$ получаем

   $$\frac{2}{\lg x+1}-\frac{1}{\lg x}\ge 0.$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$\frac{2}{t+1}-\frac{1}{t}\ge 0,$$
   $$\frac{2t-(t+1)}{t(t+1)}\ge 0,$$
   $$\frac{t-1}{t(t+1)}\ge 0.$$

   Критические точки: $$t=-1,\;0,\;1.$$ По знакам дроби:

   $$t\in(-1,0)\cup[1,+\infty).$$

   Возвращаясь к $$x,$$ получаем

   $$\lg x\in(-1,0)\cup[1,+\infty),$$
   $$x\in(0{,}1;1)\cup[10;+\infty).$$

2. $$\frac{3}{\lg x+\lg 0{,}01}-\frac{1}{\lg x}\le 0$$

   Так как $$\lg 0{,}01=-2,$$ имеем

   $$\frac{3}{\lg x-2}-\frac{1}{\lg x}\le 0.$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$\frac{3}{t-2}-\frac{1}{t}\le 0,$$
   $$\frac{3t-(t-2)}{t(t-2)}\le 0,$$
   $$\frac{2t+2}{t(t-2)}\le 0,$$
   $$\frac{t+1}{t(t-2)}\le 0.$$

   Критические точки: $$t=-1,\;0,\;2.$$ По знакам дроби:

   $$t\in(-\infty,-1]\cup(0,2].$$

   Тогда

   $$\lg x\in(-\infty,-1]\cup(0,2],$$
   $$x\in(0;0{,}1]\cup(1;100].$$

3. $$\lg x+\frac{3}{\lg x+\lg 0{,}01}\ge -2$$

   Так как $$\lg 0{,}01=-2,$$ получаем

   $$\lg x+\frac{3}{\lg x-2}\ge -2.$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t+\frac{3}{t-2}\ge -2,$$
   $$t+\frac{3}{t-2}+2\ge 0,$$
   $$\frac{(t+2)(t-2)+3}{t-2}\ge 0,$$
   $$\frac{t^2-4+3}{t-2}\ge 0,$$
   $$\frac{t^2-1}{t-2}\ge 0,$$
   $$\frac{(t-1)(t+1)}{t-2}\ge 0.$$

   Критические точки: $$t=-1,\;1,\;2.$$ По знакам дроби:

   $$t\in[-1,1]\cup(2,+\infty).$$

   Следовательно,

   $$\lg x\in[-1,1]\cup(2,+\infty),$$
   $$x\in[0{,}1;10]\cup(100;+\infty).$$

4. $$\lg x+\frac{12}{\lg x-\lg 0{,}01}\le 5$$

   Так как $$\lg 0{,}01=-2,$$ имеем

   $$\lg x+\frac{12}{\lg x+2}\le 5.$$

   Положим $$t=\lg x.$$ Тогда

   $$t+\frac{12}{t+2}\le 5,$$
   $$t+\frac{12}{t+2}-5\le 0,$$
   $$\frac{t(t+2)+12-5(t+2)}{t+2}\le 0,$$
   $$\frac{t^2-3t+2}{t+2}\le 0,$$
   $$\frac{(t-1)(t-2)}{t+2}\le 0.$$

   Критические точки: $$t=-2,\;1,\;2.$$ По знакам дроби:

   $$t\in(-\infty,-2]\cup[1,2].$$

   Тогда

   $$\lg x\in(-\infty,-2]\cup[1,2],$$
   $$x\in(0;0{,}01]\cup[10;100].$$

Ответ

а) $$x\in(0{,}1;1)\cup[10;+\infty)$$;
б) $$x\in(0;0{,}1]\cup(1;100]$$;
в) $$x\in[0{,}1;10]\cup(100;+\infty)$$;
г) $$x\in(0;0{,}01]\cup[10;100]$$.