Упр.6.59 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Обозначим $$t=\lg(3x+1).$$ Тогда $$\lg 0{,}01=-2,$$ и неравенство принимает вид

$$\frac{1}{t}+\frac{2}{t-2}>-1.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$\frac{1}{t}+\frac{2}{t-2}+1>0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(t-2)+2t+t(t-2)}{t(t-2)}>0,$$

$$\frac{t^2+t-2}{t(t-2)}>0,$$

$$\frac{(t+2)(t-1)}{t(t-2)}>0.$$

По методу интервалов получаем:

$$t\in(-\infty,-2)\cup(0,1)\cup(2,+\infty).$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем:

$$\lg(3x+1)<-2 \;\Rightarrow\; 3x+1<10^{-2}, \;\Rightarrow\; x<-\frac13,$$

$$0<\lg(3x+1)<1 \;\Rightarrow\; 1<3x+1<10, \;\Rightarrow\; 0<x<3,$$

$$\lg(3x+1)>2 \;\Rightarrow\; 3x+1>10^2, \;\Rightarrow\; x>33.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\frac13;0{,}01\right)\cup(0;3)\cup(33;+\infty).$$

б) Пусть $$t=\lg(9x+10).$$ Тогда неравенство

$$\frac{1}{\lg(9x+10)}+\frac{4}{\lg(9x+10)-3}<-1$$

запишется так:

$$\frac{1}{t}+\frac{4}{t-3}+1<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t-3+4t+t(t-3)}{t(t-3)}<0,$$

$$\frac{t^2+2t-3}{t(t-3)}<0,$$

$$\frac{(t+3)(t-1)}{t(t-3)}<0.$$

По методу интервалов:

$$t\in(-3,0)\cup(1,3).$$

Возвращаясь к $$x,$$ получаем:

$$-3<\lg(9x+10)<0 \;\Rightarrow\; 10^{-3}<9x+10<1,$$

откуда

$$-\frac{9999}{9000}<x<-\frac{1}{9},$$

и

$$1<\lg(9x+10)<3 \;\Rightarrow\; 10<9x+10<1000,$$

откуда

$$0<x<\frac{110}{9}.$$

Итак,

$$x\in\left(-\frac{9999}{9000};-\frac19\right)\cup\left(0;\frac{110}{9}\right).$$

в) Пусть $$t=\lg(3x-2).$$ Тогда

$$\frac{4}{\lg(3x-2)+2}+\frac{6}{\lg(3x-2)-3}\ge -5$$

перепишется как

$$\frac{4}{t+2}+\frac{6}{t-3}+5\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4(t-3)+6(t+2)+5(t+2)(t-3)}{(t+2)(t-3)}\ge 0,$$

$$\frac{5t^2+5t-30}{(t+2)(t-3)}\ge 0,$$

$$\frac{5(t+3)(t-2)}{(t+2)(t-3)}\ge 0.$$

По методу интервалов:

$$t\in(-\infty,-3]\cup[-2,2]\cup(3,+\infty).$$

Возвращаясь к $$x,$$ имеем:

$$\lg(3x-2)\le -3 \;\Rightarrow\; 3x-2\le 10^{-3}, \;\Rightarrow\; x\le \frac{2001}{3000},$$

$$-2\le \lg(3x-2)\le 2 \;\Rightarrow\; 10^{-2}\le 3x-2\le 10^2, \;\Rightarrow\; \frac{201}{300}\le x\le 34,$$

$$\lg(3x-2)>3 \;\Rightarrow\; 3x-2>10^3, \;\Rightarrow\; x>\frac{1002}{3}.$$

С учётом области определения $$3x-2>0$$ получаем

$$x\in\left(\frac23;\frac{2001}{3000}\right]\cup\left[\frac{201}{300};34\right]\cup\left(\frac{1002}{3};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac13;0{,}01\right)\cup(0;3)\cup(33;+\infty);$$

б) $$x\in\left(-\frac{9999}{9000};-\frac19\right)\cup\left(0;\frac{110}{9}\right);$$

в) $$x\in\left(\frac23;\frac{2001}{3000}\right]\cup\left[\frac{201}{300};34\right]\cup\left(\frac{1002}{3};+\infty\right).$$