Упр.6.58 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Пусть $$t=3^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 1,$$ $$t\ne 3.$$ Получаем:

$$\frac{4}{3^x-1}-\frac{3}{3^x-3}\ge 0$$

$$\frac{4}{t-1}-\frac{3}{t-3}\ge 0$$

$$\frac{4(t-3)-3(t-1)}{(t-1)(t-3)}\ge 0$$

$$\frac{t-9}{(t-1)(t-3)}\ge 0.$$

По знакам дроби получаем:

$$t\in(1,3)\cup[9,+\infty).$$

Возвращаясь к переменной $$x,$$ имеем:

$$3^x\in(1,3)\cup[9,+\infty),$$

откуда

$$x\in(0,1)\cup[2,+\infty).$$

б) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 1,$$ $$t\ne 2.$$ Имеем:

$$\frac{3}{2^x-1}-\frac{2}{2^x-2}\le 0$$

$$\frac{3}{t-1}-\frac{2}{t-2}\le 0$$

$$\frac{3(t-2)-2(t-1)}{(t-1)(t-2)}\le 0$$

$$\frac{t-4}{(t-1)(t-2)}\le 0.$$

Отсюда

$$t\in(-\infty,1)\cup[2,4].$$

Так как $$t=2^x>0,$$ то

$$2^x\in(0,1)\cup[2,4].$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty,0)\cup[1,2].$$

в) Пусть $$t=5^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 1.$$ Получаем:

$$\frac{3}{5^x+1}-\frac{2}{5^x-1}\ge 0$$

$$\frac{3}{t+1}-\frac{2}{t-1}\ge 0$$

$$\frac{3(t-1)-2(t+1)}{(t+1)(t-1)}\ge 0$$

$$\frac{t-5}{t^2-1}\ge 0.$$

Решение по знакам даёт:

$$t\in(0,1)\cup[5,+\infty).$$

Так как $$t=5^x,$$ то

$$5^x\in(0,1)\cup[5,+\infty),$$

откуда

$$x\in(-\infty,0)\cup[1,+\infty).$$

г) Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0,$$ $$t\ne 2.$$ Имеем:

$$\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2^x-4}\le 0$$

$$\frac{1}{t}+\frac{1}{t-4}\le 0$$

$$\frac{2t-4}{t(t-4)}\le 0$$

$$\frac{t-2}{t(t-4)}\le 0.$$

Так как $$t>0,$$ то знак знаменателя определяется выражением $$t-4.$$ По знакам получаем:

$$t\in[2,4].$$

Следовательно,

$$2^x\in[2,4],$$

то есть

$$x\in[1,2].$$

Ответ

а) $$x\in(0,1)\cup[2,+\infty)$$

б) $$x\in(-\infty,0)\cup[1,2]$$

в) $$x\in(-\infty,0)\cup[1,+\infty)$$

г) $$x\in[1,2]$$