Упр.6.53 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\log_3^2 x+2\log_3 x\cdot \log_{11}x>0$$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$\log_{11}x=\frac{\log_3 x}{\log_3 11}$$
Тогда
$$ \log_3^2 x+2\log_3 x\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 11}>0 $$
$$ \log_3^2 x\left(1+\frac{2}{\log_3 11}\right)>0 $$
Так как
$$1+\frac{2}{\log_3 11}>0,$$
то нужно лишь
$$\log_3^2 x>0.$$
Это верно при
$$\log_3 x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne 1.$$
С учётом ОДЗ:
$$x>0.$$
Значит,
$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$
$$\log_2^2 x-6\log_5 x\cdot \log_9 x>0$$
Перепишем через логарифмы по основанию $2$:
$$ \log_5 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 5}, \qquad \log_9 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 9} $$
Тогда
$$ \log_2^2 x-6\cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 5}\cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 9}>0 $$
$$ \log_2^2 x\left(1-\frac{6}{\log_2 5\cdot \log_2 9}\right)>0 $$
Так как
$$\log_2 5\cdot \log_2 9>6,$$
то
$$ 1-\frac{6}{\log_2 5\cdot \log_2 9}>0. $$
Следовательно,
$$\log_2^2 x>0,$$
то есть
$$x\ne 1.$$
С учётом ОДЗ:
$$x>0.$$
Значит,
$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$
$$\log_3^2 x+4\log_4 x\cdot \log_5 x+2\log_6^2 x>0$$
Приведём всё к логарифмам по основанию $3$:
$$ \log_4 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 4}, \qquad \log_5 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 5}, \qquad \log_6 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 6} $$
Тогда
$$ \log_3^2 x+4\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 5} +2\cdot \frac{\log_3^2 x}{\log_3^2 6}>0 $$
$$ \log_3^2 x\left(1+\frac{4}{\log_3 4\cdot \log_3 5}+\frac{2}{\log_3^2 6}\right)>0 $$
Скобка положительна, значит
$$\log_3^2 x>0,$$
то есть
$$x\ne 1.$$
С учётом ОДЗ:
$$x>0.$$
Значит,
$$x\in(0;1)\cup(1;+\infty).$$