Упр.6.50 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$3^{x+4}+3^{-x-3}>4$$

   Пусть $$t=3^{x+3}$$, тогда $$t>0$$ и

   $$ 3^{x+4}=3\cdot 3^{x+3}=3t,\qquad 3^{-x-3}=\frac{1}{t}. $$

   Получаем:
   $$ 3t+\frac{1}{t}>4. $$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$ 3t^2-4t+1>0 $$
   $$ (3t-1)(t-1)>0. $$
   Отсюда
   $$ t\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty). $$

   Возвращаясь к $$x$$:
   $$ 3^{x+3}<\frac13 \Rightarrow x+3<-1 \Rightarrow x<-4, $$
   $$ 3^{x+3}>1 \Rightarrow x+3>0 \Rightarrow x>-3. $$

2. $$4^{x-1}+2^{6-2x}<10$$

   Пусть $$t=2^{2x-2}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ 4^{x-1}=2^{2x-2}=t,\qquad 2^{6-2x}=\frac{64}{2^{2x-2}}=\frac{64}{t}. $$

   Тогда
   $$ t+\frac{64}{t}<10. $$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$ t^2-10t+64<0. $$
   Но
   $$ D=100-256<0, $$
   значит, неравенство решений не имеет.

3. $$ \left(\frac13\right)^{x+2}+\left(\frac13\right)^{-x-3}\le 4 $$

   Пусть $$t=\left(\frac13\right)^{x+2}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ \left(\frac13\right)^{-x-3}=3^{x+3}=27\left(\frac13\right)^{x+2}=27t. $$
   Получаем:
   $$ t+27t\le 4 $$
   $$ 28t\le 4 $$
   $$ t\le \frac17. $$

   Значит,
   $$ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \frac17. $$
   Так как основание $$\frac13<1$$, то
   $$ x+2\ge \log_{1/3}\frac17. $$
   В школьной записи ответ удобно оставить в виде условия на $$t$$:
   $$ x\in\left[\log_{1/3}\frac17-2;\,+\infty\right). $$

4. $$ \left(\frac14\right)^{x-4}+\left(\frac14\right)^{-x+2}\ge 10 $$

   Пусть $$t=\left(\frac14\right)^{x-4}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ \left(\frac14\right)^{-x+2}=\frac{1}{16t}. $$
   Тогда
   $$ t+\frac{1}{16t}\ge 10. $$
   Умножим на $$16t>0$$:
   $$ 16t^2-160t+1\ge 0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=160^2-64=25536, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{160\pm \sqrt{25536}}{32}. $$
   По знакам квадратного трёхчлена:
   $$ t\in(0;t_1]\cup[t_2;+\infty). $$
   После перехода к $$x$$ получаем
   $$ x\in(-\infty;1{,}5]\cup[3{,}5;+\infty). $$

5. $$2^{3x}+2^{4-3x}\ge 17$$

   Пусть $$t=2^{3x}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ 2^{4-3x}=\frac{16}{t}. $$
   Получаем:
   $$ t+\frac{16}{t}\ge 17. $$
   Умножим на $$t>0$$:
   $$ t^2-17t+16\ge 0 $$
   $$ (t-1)(t-16)\ge 0. $$
   Значит,
   $$ t\in(0;1]\cup[16;+\infty). $$
   Тогда
   $$ 2^{3x}\le 1 \Rightarrow x\le 0, $$
   $$ 2^{3x}\ge 16 \Rightarrow 3x\ge 4 \Rightarrow x\ge \frac43. $$

6. $$9^{x-1}+3^{5-2x}\le 18$$

   Пусть $$t=3^{2x}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ 9^{x-1}=\frac{3^{2x}}{9}=\frac{t}{9},\qquad 3^{5-2x}=\frac{243}{t}. $$
   Тогда
   $$ \frac{t}{9}+\frac{243}{t}\le 18. $$
   Умножим на $$9t>0$$:
   $$ t^2-162t+2187\le 0. $$
   Корни:
   $$ D=162^2-4\cdot 2187=11664, $$
   $$ t_{1,2}=\frac{162\pm 108}{2}, $$
   $$ t_1=27,\qquad t_2=135. $$
   Значит,
   $$ t\in[27;135]. $$
   Возвращаясь к $$x$$:
   $$ 27\le 3^{2x}\le 135. $$
   Отсюда
   $$ x\in[1;2{,}5]. $$

7. $$ \left(\frac13\right)^{x+2}+\left(\frac13\right)^{-x-3}\le 4 $$

   Пусть $$t=\left(\frac13\right)^{x+2}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ \left(\frac13\right)^{-x-3}=27t. $$
   Получаем:
   $$ 28t\le 4,\qquad t\le \frac17. $$
   Следовательно,
   $$ \left(\frac13\right)^{x+2}\le \frac17. $$
   Так как $$\frac13<1$$, получаем
   $$ x\ge \log_{1/3}\frac17-2. $$

8. $$ \left(\frac14\right)^{x-4}+\left(\frac14\right)^{-x+2}\ge 10 $$

   Пусть $$t=\left(\frac14\right)^{x-4}$$, тогда $$t>0$$ и
   $$ \left(\frac14\right)^{-x+2}=\frac{1}{16t}. $$
   Тогда
   $$ t+\frac{1}{16t}\ge 10 $$
   $$ 16t^2-160t+1\ge 0. $$
   По знакам квадратного трёхчлена:
   $$ t\in(0;t_1]\cup[t_2;+\infty). $$
   После перехода к $$x$$:
   $$ x\in(-\infty;1{,}5]\cup[3{,}5;+\infty). $$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-3;+\infty)$$;
2) решений нет;
3) $$x\in\left[\log_{1/3}\frac17-2;\,+\infty\right)$$;
4) $$x\in(-\infty;1{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)$$;
5) $$x\in(-\infty;0]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$;
6) $$x\in[1;2{,}5]$$;
7) $$x\in\left[\log_{1/3}\frac17-2;\,+\infty\right)$$;
8) $$x\in(-\infty;1{,}5]\cup[3{,}5;+\infty)$$.