Упр.6.48 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. а) $$125\cdot 3^{2x-7}-27\cdot 5^{2x-7}>0$$

   Разделим обе части на $$125\cdot 5^{2x-7}>0$$:

   $$\left(\frac35\right)^{2x-7}-\left(\frac35\right)^3>0$$

   $$\left(\frac35\right)^{2x-7}>\left(\frac35\right)^3$$

   Так как $$0<\frac35<1,$$ то знак неравенства меняется:

   $$2x-7<3$$

   $$2x<10$$

   $$x<5$$

2. б) $$72\cdot 5^{4x+2}-50\cdot 6^{4x+2}<0$$

   Разделим на $$72\cdot 6^{4x+2}>0$$:

   $$\left(\frac56\right)^{4x+2}-\frac{50}{72}<0$$

   $$\left(\frac56\right)^{4x+2}<\frac{25}{36}=\left(\frac56\right)^2$$

   Так как $$0<\frac56<1,$$ получаем:

   $$4x+2>2$$

   $$4x>0$$

   $$x>0$$

3. в) $$162\cdot 2^{3x+1}-32\cdot 3^{3x+1}>0$$

   Разделим на $$162\cdot 3^{3x+1}>0$$:

   $$\left(\frac23\right)^{3x+1}-\frac{32}{162}>0$$

   $$\left(\frac23\right)^{3x+1}>\frac{16}{81}=\left(\frac23\right)^4$$

   Так как $$0<\frac23<1,$$ то

   $$3x+1<4$$

   $$3x<3$$

   $$x<1$$

4. г) $$4\cdot 9^{6x-4}-9\cdot 6^{6x-4}>0$$

   Разделим на $$9\cdot 6^{6x-4}>0$$:

   $$\frac49\left(\frac32\right)^{6x-4}-1>0$$

   $$\left(\frac32\right)^{6x-4}>\frac94=\left(\frac32\right)^2$$

   Так как $$\frac32>1,$$ получаем:

   $$6x-4>2$$

   $$6x>6$$

   $$x>1$$

5. д) $$27\cdot 4^{2x-1}-8\cdot 6^{2x-1}<0$$

   Разделим на $$8\cdot 4^{2x-1}>0$$:

   $$\frac{27}{8}-\left(\frac32\right)^{2x-1}<0$$

   $$\left(\frac32\right)^{2x-1}>\frac{27}{8}=\left(\frac32\right)^3$$

   Так как $$\frac32>1,$$ то

   $$2x-1>3$$

   $$2x>4$$

   $$x>2$$

Ответ

а) $$x<5$$; б) $$x>0$$; в) $$x<1$$; г) $$x>1$$; д) $$x>2$$.