Упр.6.44 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

$$\log_2 x+\log_3 x<\log_3 6$$
Перепишем $$\log_2 x$$ через логарифм по основанию $$3$$:
$$\log_2 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 2}$$
Тогда
$$\frac{\log_3 x}{\log_3 2}+\log_3 x<\log_3 6$$
$$\log_3 x\left(\frac{1}{\log_3 2}+1\right)<\log_3 6$$
$$\log_3 x\cdot \frac{1+\log_3 2}{\log_3 2}<\log_3 6$$
Так как $$1+\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2=\log_3 6,$$ получаем
$$\log_3 x\cdot \frac{\log_3 6}{\log_3 2}<\log_3 6$$
Умножим на положительное число $$\frac{\log_3 2}{\log_3 6}$$:
$$\log_3 x<\log_3 2$$
Отсюда $$x<2$$. С учётом ОДЗ $$x>0$$:
$$0<x<2$$
$$\log_3 x+\log_4 x>\log_4 12$$
Перепишем $$\log_3 x$$ через логарифм по основанию $$4$$:
$$\log_3 x=\frac{\log_4 x}{\log_4 3}$$
Тогда
$$\frac{\log_4 x}{\log_4 3}+\log_4 x>\log_4 12$$
$$\log_4 x\left(\frac{1}{\log_4 3}+1\right)>\log_4 12$$
$$\log_4 x\cdot \frac{1+\log_4 3}{\log_4 3}>\log_4 12$$
Так как $$1+\log_4 3=\log_4 4+\log_4 3=\log_4 12,$$ получаем
$$\log_4 x\cdot \frac{\log_4 12}{\log_4 3}>\log_4 12$$
Умножим на положительное число $$\frac{\log_4 3}{\log_4 12}$$:
$$\log_4 x>\log_4 3$$
Следовательно, $$x>3$$. С учётом ОДЗ $$x>0$$:
$$x>3$$
$$2\log_5 x-\log_2 x>\log_2 0{,}8$$
Перепишем $$\log_5 x$$ через логарифм по основанию $$2$$:
$$\log_5 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 5}$$
Тогда
$$2\cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 5}-\log_2 x>\log_2 0{,}8$$
$$\log_2 x\left(\frac{2}{\log_2 5}-1\right)>\log_2 0{,}8$$
$$\log_2 x\cdot \frac{2-\log_2 5}{\log_2 5}>\log_2 0{,}8$$
Так как $$2=\log_2 4,$$ то
$$2-\log_2 5=\log_2 4-\log_2 5=\log_2 \frac45=\log_2 0{,}8$$
Следовательно,
$$\log_2 x\cdot \frac{\log_2 0{,}8}{\log_2 5}>\log_2 0{,}8$$
Так как $$\log_2 0{,}8<0,$$ при делении на него знак неравенства меняется:
$$\log_2 x<\log_2 5$$
Отсюда $$x<5$$. С учётом ОДЗ $$x>0$$:
$$0<x<5$$
$$\log_3 x-2\log_2 x<4\log_3 0{,}75$$
Перепишем $$\log_2 x$$ через логарифм по основанию $$3$$:
$$\log_2 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 2}$$
Тогда
$$\log_3 x-2\cdot \frac{\log_3 x}{\log_3 2}<4\log_3 0{,}75$$
$$\log_3 x\left(1-\frac{2}{\log_3 2}\right)<4\log_3 0{,}75$$
$$\log_3 x\cdot \frac{\log_3 2-2}{\log_3 2}<4\log_3 0{,}75$$
Так как $$2=\log_3 9,$$ то
$$\log_3 2-2=\log_3 2-\log_3 9=\log_3 \frac29$$
Удобнее заметить, что
$$1-2\log_3 2=\log_3 3-2\log_3 2=\log_3 \frac34=\log_3 0{,}75$$
Тогда
$$\log_3 x\cdot \frac{\log_3 0{,}75}{\log_3 2}<4\log_3 0{,}75$$
Так как $$\log_3 0{,}75<0,$$ делим на отрицательное число и меняем знак неравенства:
$$\frac{\log_3 x}{\log_3 2}>4$$
$$\log_2 x>4$$
$$x>16$$
С учётом ОДЗ $$x>0$$:
$$x>16$$