Упр.6.42 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Преобразуем логарифмы к основанию $2$:

$$ \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{1}{2}\log_2 x,\qquad \log_{16} x=\frac{\log_2 x}{\log_2 16}=\frac{1}{4}\log_2 x. $$

Тогда неравенство принимает вид

$$ \log_2 x+\log_4 x+\log_{16} x>3{,}5 $$
$$ \left(1+\frac12+\frac14\right)\log_2 x>3{,}5 $$
$$ \frac74\log_2 x>\frac72 $$
$$ \log_2 x>2. $$

Отсюда

$$ x>2^2=4. $$

С учётом области определения $x>0$ получаем: $x>4$.

б) Преобразуем логарифмы к основанию $3$:

$$ \log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac12\log_3 x,\qquad \log_{27} x=\frac{\log_3 x}{\log_3 27}=\frac13\log_3 x. $$

Тогда

$$ \log_3 x+\log_9 x+\log_{27} x<\frac{11}{3} $$
$$ \left(1+\frac12+\frac13\right)\log_3 x<\frac{11}{3} $$
$$ \frac{11}{6}\log_3 x<\frac{11}{3} $$
$$ \log_3 x<2. $$

Следовательно,

$$ x<3^2=9. $$

С учётом области определения $x>0$ получаем: $0<x<9$.