Упр.6.24 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

а) Введём замену $$t=3^{x+1}, \quad t>0.$$ Тогда уравнение примет вид

$$t-\frac{2}{t-2}=1.$$

Умножим на $$t-2$$:

$$t(t-2)-2=t-2$$

$$t^2-2t-2=t-2$$

$$t^2-3t=0$$

$$t(t-3)=0.$$

Отсюда $$t=0$$ или $$t=3$$. Так как $$t>0$$, то $$t=3$$.

Тогда

$$3^{x+1}=3,$$

$$x+1=1,$$

$$x=0.$$

б) Введём замену $$t=5^{x-1}, \quad t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{2}{t+2}=1.$$

Умножим на $$t+2$$:

$$t(t+2)+2=t+2$$

$$t^2+2t+2=t+2$$

$$t^2+t=0$$

$$t(t+1)=0.$$

Отсюда $$t=0$$ или $$t=-1$$, но при $$t>0$$ решений нет.

в) Введём замену $$t=3^x, \quad t>0.$$ Тогда

$$\frac{3t+5}{t-1}-\frac{3t-5}{t+1}=6,$$

где $$t\neq 1.$$ Умножим на $$t^2-1$$:

$$ (3t+5)(t+1)-(3t-5)(t-1)=6(t^2-1). $$

Раскроем скобки:

$$3t^2+8t+5- \left(3t^2-8t+5\right)=6t^2-6$$

$$16t=6t^2-6$$

$$3t^2-8t-3=0.$$

$$D=64+36=100,$$

$$t=\frac{8\pm 10}{6}.$$

Получаем $$t=3$$ или $$t=-\frac13.$$

Так как $$t>0$$, то $$t=3$$.

Следовательно,

$$3^x=3,$$

$$x=1.$$

г) Введём замену $$t=2^x, \quad t>0.$$ Тогда

$$\frac{2t+3}{t-1}-\frac{2t-1}{t+1}=6,$$

где $$t\neq 1.$$ Умножим на $$t^2-1$$:

$$ (2t+3)(t+1)-(2t-1)(t-1)=6(t^2-1). $$

Раскроем скобки:

$$2t^2+5t+3-\left(2t^2-3t+1\right)=6t^2-6$$

$$8t+2=6t^2-6$$

$$3t^2-4t-4=0.$$

$$D=16+48=64,$$

$$t=\frac{4\pm 8}{6}.$$

Получаем $$t=2$$ или $$t=-\frac23.$$

Так как $$t>0$$, то $$t=2$$.

Следовательно,

$$2^x=2,$$

$$x=1.$$

Ответ

а) $$0$$; б) решений нет; в) $$1$$; г) $$1$$.