Упр.6.23 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$5^x+2\cdot 5^{-x}-3=0$$
Пусть $$t=5^x$$, тогда $$t>0$$ и $$5^{-x}=\frac{1}{t}$$. Получаем:
$$t+\frac{2}{t}-3=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-3t+2=0$$
$$t_1=1,\quad t_2=2$$
Тогда:
$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$5^x=2 \Rightarrow x=\log_5 2$$
$$7^x+2\cdot 7^{1-x}-9=0$$
Пусть $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и $$7^{1-x}=\frac{7}{t}$$. Тогда:
$$t+2\cdot \frac{7}{t}-9=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-9t+14=0$$
$$t_1=7,\quad t_2=2$$
Следовательно:
$$7^x=7 \Rightarrow x=1$$
$$7^x=2 \Rightarrow x=\log_7 2$$
$$2^{2x}+2^{-x}-2=0$$
Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$, $$2^{2x}=t^2$$, $$2^{-x}=\frac{1}{t}$$. Получаем:
$$t^2+\frac{1}{t}-2=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^3-2t+1=0$$
Проверкой находим корень $$t=1$$, тогда
$$t^3-2t+1=(t-1)(t^2+t-1)=0$$
$$t=1,\quad t=\frac{-1+\sqrt5}{2},\quad t=\frac{-1-\sqrt5}{2}$$
Так как $$t>0$$, подходит только:
$$t=1 \Rightarrow 2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x-2^{-x}-3=0$$
Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{-x}=\frac{1}{t}$$. Тогда:
$$t-\frac{1}{t}-3=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-3t-1=0$$
$$D=9+4=13$$
$$t=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$$
Положительным является только
$$t=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$
Значит,
$$2^x=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \Rightarrow x=\log_2 \frac{3+\sqrt{13}}{2}$$
$$7^x+2\cdot 7^{-x}-9=0$$
Пусть $$t=7^x$$, тогда $$t>0$$ и $$7^{-x}=\frac{1}{t}$$. Получаем:
$$t+\frac{2}{t}-9=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-9t+2=0$$
$$D=81-8=73$$
$$t=\frac{9\pm \sqrt{73}}{2}$$
Оба корня положительны, значит:
$$x=\log_7 \frac{9-\sqrt{73}}{2},\quad x=\log_7 \frac{9+\sqrt{73}}{2}$$
$$2^x+2^{-x}-2=0$$
Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{-x}=\frac{1}{t}$$. Тогда:
$$t+\frac{1}{t}-2=0$$
Умножим на $$t$$:
$$t^2-2t+1=0$$
$$\left(t-1\right)^2=0$$
$$t=1 \Rightarrow 2^x=1 \Rightarrow x=0$$
Ответ
а) $$0,\ \log_5 2$$; б) $$1,\ \log_7 2$$; в) $$0$$; г) $$\log_2 \frac{3+\sqrt{13}}{2}$$; д) $$\log_7 \frac{9-\sqrt{73}}{2},\ \log_7 \frac{9+\sqrt{73}}{2}$$; е) $$0$$.
