Упр.6.21 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. $$9^{2x}-5\cdot 3^x+6=0$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^{2x}=(3^x)^4=t^4$$. Получаем:

   $$t^2-5t+6=0$$

   $$t_1=2,\quad t_2=3$$

   Тогда

   $$3^x=2 \Rightarrow x=\log_3 2,$$

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

2. $$4^x-3\cdot 2^x+3=0$$

   Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^x=(2^x)^2=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-3t+3=0$$

   $$D=9-12=-3<0$$

   Действительных корней нет.

3. $$9^{2x}-2\cdot 9^x-3=0$$

   Пусть $$t=9^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$t_1=3,\quad t_2=-1$$

   Так как $$t>0$$, подходит только $$t=3$$. Тогда

   $$9^x=3 \Rightarrow 3^{2x}=3 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12.$$

4. $$3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0$$

   Пусть $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$. Получаем:

   $$t^2-8t-9=0$$

   $$D=64+36=100$$

   $$t_1=9,\quad t_2=-1$$

   Подходит только $$t=9$$, значит

   $$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2.$$

5. $$16^x-17\cdot 4^x+16=0$$

   Пусть $$t=4^x$$, тогда $$t>0$$ и $$16^x=(4^x)^2=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-17t+16=0$$

   $$t_1=16,\quad t_2=1$$

   Тогда

   $$4^x=16 \Rightarrow x=2,$$

   $$4^x=1 \Rightarrow x=0.$$

6. $$4^x-3\cdot 2^x+2=0$$

   Пусть $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$4^x=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$t_1=2,\quad t_2=1$$

   Тогда

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Ответ

а) $$x=\log_3 2,\ 1$$;
б) корней нет;
в) $$x=\frac12$$;
г) $$x=2$$;
д) $$x=2,\ 0$$;
е) $$x=1,\ 0$$.