Упр.6.14 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
$$\log_2 x+\log_3 x=\log_3 6.$$
Так как $$\log_2 x=\dfrac{\log_3 x}{\log_3 2},$$ то
$$\dfrac{\log_3 x}{\log_3 2}+\log_3 x=\log_3 6.$$
Вынесем $$\log_3 x$$ за скобки:
$$\log_3 x\left(\dfrac{1}{\log_3 2}+1\right)=\log_3 6.$$
Так как
$$\dfrac{1}{\log_3 2}+1=\dfrac{1+\log_3 2}{\log_3 2}=\dfrac{\log_3 6}{\log_3 2},$$
получаем
$$\dfrac{\log_3 6}{\log_3 2}\log_3 x=\log_3 6.$$
Делим обе части на $$\dfrac{\log_3 6}{\log_3 2}\neq 0$$:
$$\log_3 x=\log_3 2,$$
откуда
$$x=2.$$
$$\log_3 x+\log_4 x=2\log_4 12.$$
Переходим к основанию $$4$$:
$$\log_3 x=\dfrac{\log_4 x}{\log_4 3}.$$
Тогда
$$\dfrac{\log_4 x}{\log_4 3}+\log_4 x=2\log_4 12.$$
Вынесем $$\log_4 x$$:
$$\log_4 x\left(\dfrac{1}{\log_4 3}+1\right)=2\log_4 12.$$
Так как
$$\dfrac{1}{\log_4 3}+1=\dfrac{1+\log_4 3}{\log_4 3}=\dfrac{\log_4 12}{\log_4 3},$$
то
$$\dfrac{\log_4 12}{\log_4 3}\log_4 x=2\log_4 12.$$
Сокращаем на $$\log_4 12$$:
$$\log_4 x=2\log_4 3=\log_4 3^2=\log_4 9,$$
значит,
$$x=9.$$
$$2\log_4 x-\log_5 x=3\log_5 \dfrac{5}{2}.$$
Переходим к основанию $$5$$:
$$2\log_4 x=2\cdot \dfrac{\log_5 x}{\log_5 4}=\dfrac{\log_5 x}{\log_5 2},$$
так как $$\log_5 4=2\log_5 2.$$ Тогда
$$\dfrac{\log_5 x}{\log_5 2}-\log_5 x=3\log_5 \dfrac{5}{2}.$$
Вынесем $$\log_5 x$$:
$$\log_5 x\left(\dfrac{1}{\log_5 2}-1\right)=3\log_5 \dfrac{5}{2}.$$
Преобразуем скобку:
$$\dfrac{1}{\log_5 2}-1=\dfrac{1-\log_5 2}{\log_5 2}=\dfrac{\log_5 5-\log_5 2}{\log_5 2}=\dfrac{\log_5 \frac{5}{2}}{\log_5 2}.$$
Тогда
$$\log_5 x\cdot \dfrac{\log_5 \frac{5}{2}}{\log_5 2}=3\log_5 \dfrac{5}{2}.$$
Сокращаем на $$\log_5 \dfrac{5}{2}\neq 0$$:
$$\log_5 x=3\log_5 2=\log_5 2^3=\log_5 8,$$
откуда
$$x=8.$$
$$2\log_6 x-\log_6 x=2\log_6 3.$$
Получаем
$$\log_6 x=2\log_6 3=\log_6 3^2=\log_6 9,$$
значит,
$$x=9.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$9$$; в) $$8$$; г) $$9$$.
