Упражнение 55 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^{14}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}.$$

Область допустимых значений:

$$1-x^{15}\ne 0,\quad x^{13}-1\ne 0,$$

то есть $$x\ne 1.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(x^{14}-1\right)\left(x^{13}-1\right)=\left(1-x^{15}\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$x^{27}-x^{14}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^{30}-x^{27}-2x^{15}+x^{14}+x^{13}=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$x^{13}\left(x^{17}-x^{14}-2x^2+x+1\right)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или

$$x^{17}-x^{14}-2x^2+x+1=0.$$

Проверка показывает, что при $$x=-1$$ это уравнение обращается в нуль, а при $$x=1$$ значение не подходит по ОДЗ. Следовательно,

$$x=0,\,-1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{1-x^{11}}{1-x^9}=\frac{1-x^9}{1-x^7}.$$

ОДЗ:

$$1-x^9\ne 0,\quad 1-x^7\ne 0,$$

то есть $$x\ne 1.$$

Перемножим крест-накрест:

$$\left(1-x^{11}\right)\left(1-x^7\right)=\left(1-x^9\right)^2.$$

Раскроем скобки:

$$1-x^7-x^{11}+x^{18}=1-2x^9+x^{18}.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$-x^7-x^{11}+2x^9=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$x^7\left(-1-x^4+2x^2\right)=0,$$

или

$$x^7\left(x^4-2x^2+1\right)=0.$$

Тогда

$$x^7(x^2-1)^2=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\pm 1.$$

Но $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит остаются

$$x=0,\,-1.$$

Ответ

а) $$x=0,\,-1$$; б) $$x=0,\,-1$$.