Упр.5.46 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим функцию $$y=x^n$$, где $$n\in \mathbb{N}$$.

1) Если $$n$$ — чётное число, то

$$(-x)^n=x^n,$$

поэтому график функции симметричен относительно оси $$Oy$$. Кроме того, при любом $$x$$ значение $$x^n\ge 0$$.

Отсюда получаем свойства:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(y)=[0;+\infty)$$;
• функция чётная;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$;
• убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$;
• $$y>0$$ при $$x\ne 0$$, $$y=0$$ при $$x=0$$;
• при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$, при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$, при $$x\to 0$$ имеем $$y\to 0$$.

2) Если $$n$$ — нечётное число, то

$$(-x)^n=-x^n,$$

поэтому график функции симметричен относительно начала координат. Значения функции могут быть как положительными, так и отрицательными.

Свойства:

• $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(y)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция нечётная;
• непрерывна на $$(-\infty;+\infty)$$;
• возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
• $$y>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$, $$y=0$$ при $$x=0$$;
• при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$, при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, при $$x\to 0$$ имеем $$y\to 0$$.

Ответ

Для функции $$y=x^n$$ при чётном $$n$$: область определения $$(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$[0;+\infty)$$, функция чётная, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

Для функции $$y=x^n$$ при нечётном $$n$$: область определения $$(-\infty;+\infty)$$, множество значений $$(-\infty;+\infty)$$, функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.