Упр.5.34 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим функции $$y=\log_2 x$$ и $$y=\log_4 x.$$

Так как $$4=2^2,$$ то

$$\log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{1}{2}\log_2 x.$$

При $$x>1$$ логарифм возрастает, поэтому чем больше основание логарифма, тем меньше его значение. Значит, при $$x>1$$

$$\log_2 x>\log_4 x.$$

При $$0<x<1$$ логарифм убывает по значению при увеличении основания, поэтому

$$\log_2 x<\log_4 x.$$

В точке $$x=1$$ обе функции равны нулю:

$$\log_2 1=\log_4 1=0.$$

Следовательно, график функции $$y=\log_2 x$$ расположен выше графика функции $$y=\log_4 x$$ на промежутке $$x\in(1;+\infty),$$ а на промежутке $$x\in(0;1)$$ — ниже.

Ответ

$$\log_2 x>\log_4 x \text{ при } x\in(1;+\infty),$$
$$\log_2 x<\log_4 x \text{ при } x\in(0;1).$$