Упр.5.2 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Пусть $$\log_a b=c,$$ тогда по определению логарифма $$a^c=b,$$ где $$a>0,$$ $$a\ne 1,$$ $$b>0.$$

1) Докажем, что логарифм нуля не существует.

Предположим, что $$\log_a 0=c.$$ Тогда по определению логарифма должно быть $$a^c=0.$$ Но при $$a>0$$ и любом действительном $$c$$ значение $$a^c>0,$$ значит, равенство $$a^c=0$$ невозможно. Противоречие.

Следовательно, $$\log_a 0$$ не существует.

2) Докажем, что логарифм отрицательного числа не существует.

Предположим, что $$\log_a b=c$$ при $$b<0.$$ Тогда по определению логарифма $$a^c=b<0.$$ Но при $$a>0$$ значение $$a^c$$ всегда положительно, то есть $$a^c>0.$$ Получаем противоречие.

Следовательно, $$\log_a b$$ для $$b<0$$ не существует.

Ответ

$$\log_a 0$$ не существует; $$\log_a b$$ не существует при $$b<0.$$