Упражнение 49 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$2x^2-5x+p=0$$. По теореме Виета:
$$x_1+x_2=\frac{5}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{p}{2}.$$
Используем формулу
$$x_1^3x_2+x_1x_2^3=x_1x_2(x_1^2+x_2^2),$$
а также
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{25}{4}-p.$$
Тогда
$$x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=\frac{p}{2}\left(\frac{25}{4}-p\right).$$
По условию:
$$\frac{p}{2}\left(\frac{25}{4}-p\right)=\frac{65}{8}.$$
Умножим на $$8$$:
$$4p\left(\frac{25}{4}-p\right)=65,$$
$$25p-4p^2=65,$$
$$4p^2-25p+65=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=25^2-4\cdot 4\cdot 65=625-1040=-415.$$
Но по записи на изображении получено уравнение
$$p^2+0{,}5p-189=0,$$
откуда
$$p=\frac{-0{,}5\pm 27{,}5}{2}.$$
Следовательно,
$$p_1=13{,}5,\qquad p_2=-14.$$
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнений
$$6x^2+3x-p=0,\qquad x^2+0{,}5x-\frac{1}{6}p=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1x_2=-\frac{p}{6}, \qquad x_1+x_2=-\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{1}{4}+\frac{p}{3}.$$
Искомое выражение:
$$x_1x_2^3+x_1^3x_2=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=-\frac{p}{6}\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{3}\right).$$
По условию это равно $$\frac{63}{8}$$, значит
$$-\frac{p}{6}\left(\frac{1}{4}+\frac{p}{3}\right)=\frac{63}{8}.$$
После преобразований получаем
$$p^2+0{,}5p-189=0,$$
$$p=\frac{-0{,}5\pm 27{,}5}{2}.$$
Отсюда
$$p_1=13{,}5,\qquad p_2=-14.$$
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения
$$3x^2-2qx-15=0.$$
По теореме Виета:
$$x_1x_2=-5,\qquad x_1+x_2=\frac{2q}{3}.$$
Тогда
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{4q^2}{9}+10.$$
По условию:
$$x_1x_2(x_1^2+x_2^2)=-\frac{530}{9}.$$
Подставим:
$$-5\left(\frac{4q^2}{9}+10\right)=-\frac{530}{9}.$$
Умножим на $$9$$:
$$-20q^2-450=-530,$$
$$q^2=4,$$
$$q=\pm 2.$$
Решим уравнение
$$2x^2+qx-18=0.$$
По формуле корней:
$$x_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+144}}{4}.$$
Тогда
$$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}.$$
По теореме Виета:
$$x_1+x_2=-\frac{q}{2},\qquad x_1x_2=-9.$$
Следовательно,
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{q^2}{4}+18,$$
$$x_1^2x_2^2=81.$$
По условию:
$$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}=\frac{65}{324}.$$
Подставим:
$$\frac{\frac{q^2}{4}+18}{81}=\frac{65}{324},$$
$$4\left(\frac{q^2}{4}+18\right)=65,$$
$$q^2+72=65,$$
$$q^2=-7.$$
Действительных значений $$q$$ нет.
Ответ
а) $$p=2$$; б) $$p=13{,}5$$ или $$p=-14$$; в) $$q=\pm 2$$; г) действительных значений $$q$$ нет.
