Упражнение 41 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) Пусть корни уравнения $$x^2-kx+2=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=k,\qquad x_1x_2=2.$$
По условию $$x_1-x_2=1$$. Используем формулу корней квадратного уравнения:
$$x_{1,2}=\frac{k\pm\sqrt{k^2-8}}{2}.$$
Тогда
$$x_1-x_2=\frac{k+\sqrt{k^2-8}}{2}-\frac{k-\sqrt{k^2-8}}{2}=1,$$
откуда
$$\sqrt{k^2-8}=1,$$
$$k^2-8=1,$$
$$k^2=9,$$
$$k=\pm 3.$$
Так как разность корней равна $$1$$, подходит значение $$k=3$$.
б) Для уравнения $$x^2-6x+q=0$$ имеем
$$D=36-4q=4(9-q).$$
Корни:
$$x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-4q}}{2}=3\pm\sqrt{9-q}.$$
По условию $$x_1-x_2=4$$, значит
$$\left(3+\sqrt{9-q}\right)-\left(3-\sqrt{9-q}\right)=4,$$
$$2\sqrt{9-q}=4,$$
$$\sqrt{9-q}=2,$$
$$9-q=4,$$
$$q=5.$$
в) Для уравнения $$x^2-px+12=0$$
$$D=p^2-48.$$
Корни:
$$x_{1,2}=\frac{p\pm\sqrt{p^2-48}}{2}.$$
По условию $$x_1-x_2=1$$, значит
$$\frac{p+\sqrt{p^2-48}}{2}-\frac{p-\sqrt{p^2-48}}{2}=1,$$
$$\sqrt{p^2-48}=1,$$
$$p^2-48=1,$$
$$p^2=49,$$
$$p=\pm 7.$$
Подходит значение $$p=7$$.
Ответ
а) $$k=3$$; б) $$q=5$$; в) $$p=7$$.
