Упражнение 40 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Рассмотрим уравнение $$x^2+ax+a+1=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=a^2-4(a+1)=a^2-4a-4.$$

   По условию уравнение имеет два различных корня, значит $$D>0.$$ Тогда

   $$a^2-4a-4>0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$a_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}=2\pm2\sqrt2.$$

   Следовательно,

   $$a\in(-\infty,\,2-2\sqrt2)\cup(2+2\sqrt2,\,\infty).$$

2. б) Рассмотрим уравнение $$x^2-10x+a=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=100-4a.$$

   Чтобы уравнение имело один корень, нужно $$D=0.$$ Тогда

   $$100-4a=0,\qquad a=25.$$

3. в) Рассмотрим уравнение $$(a-1)x^2-ax+a+1=0.$$

   Если $$a=1,$$ то уравнение превращается в линейное:

   $$-x+2=0,$$

   и имеет один корень. При $$a\ne1$$ это квадратное уравнение. Его дискриминант:

   $$D=(-a)^2-4(a-1)(a+1)=a^2-4(a^2-1)=4-3a^2.$$

   Чтобы уравнение имело два действительных корня, нужно

   $$D>0,\qquad 4-3a^2>0,$$

   то есть

   $$a^2<\frac43,\qquad -\frac{2\sqrt3}{3}<a<\frac{2\sqrt3}{3}.$$

   Так как при $$a=1$$ уравнение тоже имеет один корень, этот случай не входит в ответ.

4. 2) Рассмотрим уравнение $$ax^2+2(a+1)x+a+3=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=4(a+1)^2-4a(a+3)=4a^2+8a+4-4a^2-12a=4-4a.$$

   Уравнение имеет два действительных корня, если $$D>0,$$ то есть

   $$4-4a>0,\qquad a<1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty,\,2-2\sqrt2)\cup(2+2\sqrt2,\,\infty);$$
б) $$a=25;$$
в) $$a\in\left(-\frac{2\sqrt3}{3},\,\frac{2\sqrt3}{3}\right);$$
2) $$a<1.$$