Раздел4.7 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
Степенью с иррациональным показателем $$a^\alpha$$ называют предел последовательности степеней с рациональными показателями, если $$a>0$$ и $$\alpha$$ — иррациональное число.
Пусть $$r_1, r_2, r_3, \dots$$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $$\alpha$$. Тогда:
- если $$a>1$$, то при $$\alpha>0$$ последовательность $$a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots$$ имеет предел, и этот предел принимают за $$a^\alpha$$;
- если $$0<a<1$$, то при $$\alpha>0$$ аналогично определяют $$a^\alpha$$ как предел соответствующей последовательности степеней;
- при $$\alpha<0$$ определение сводится к случаю отрицательного показателя;
- если $$a=1$$, то для любого иррационального $$\alpha$$ имеем $$1^\alpha=1$$.
Таким образом, для любого $$a>0$$ и иррационального $$\alpha$$ степень $$a^\alpha$$ определена как предел степеней с рациональными показателями. При этом:
$$ a^0=1 \quad (a>0), \qquad 0^\alpha=0 \quad (\alpha>0). $$
Записи $$0^0$$ и $$0^\alpha$$ при $$\alpha<0$$ не имеют смысла.
Ответ
Степень с иррациональным показателем определяется как предел последовательности степеней с рациональными показателями; для $$a>0$$ она существует и единственна.
