Упр.4.44 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

По изображению видно, что речь идёт о геометрической прогрессии с

$$P_n=3a\left(\frac{4}{3}\right)^n,$$

а также

$$S_n=\frac{a^2\sqrt3}{4}\left(1{,}6-0{,}6\left(\frac49\right)^n\right).$$

а) Найдём сумму первых $n$ членов:

$$ S_n=\frac{a^2\sqrt3}{4}\left(1{,}6-0{,}6\left(\frac49\right)^n\right). $$

б) Рассмотрим предел $P_n$ при $n\to\infty$:

$$ P_n=3a\left(\frac43\right)^n. $$
Так как $$\frac43>1,$$ то при $$n\to\infty$$ имеем
$$ \left(\frac43\right)^n\to+\infty, $$
следовательно,
$$ \lim_{n\to\infty}P_n=+\infty. $$

в) Найдём предел $S_n$ при $n\to\infty$:

$$ S_n=\frac{a^2\sqrt3}{4}\left(1{,}6-0{,}6\left(\frac49\right)^n\right). $$
Так как $$\left(\frac49\right)^n\to 0,$$ то
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot 1{,}6=\frac{2\sqrt3}{5}a^2. $$

Ответ

$$ S_n=\frac{a^2\sqrt3}{4}\left(1{,}6-0{,}6\left(\frac49\right)^n\right),\qquad \lim_{n\to\infty}P_n=+\infty,\qquad \lim_{n\to\infty}S_n=\frac{2\sqrt3}{5}a^2. $$