Упр.4.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

После первого преобразования площадь исходного квадрата равна $$a^2,$$ а площадь, удаляемая на каждом шаге, образует геометрическую прогрессию со знаменателем $$\frac{5}{9}.$$

Сумма площадей всех удалённых квадратов после $$n$$ преобразований:

$$ a^2\cdot \frac{4}{9}+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{9}+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^2+\cdots+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^{n-1} $$

Это сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии, поэтому

$$ S_{\text{уд}}=a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{9}\right)^n}{1-\frac{5}{9}} =a^2\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right). $$

Тогда площадь фигуры после $$n$$ преобразований:

$$ S_n=a^2-S_{\text{уд}}=a^2-a^2\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right) = a^2+a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n. $$

Упростим:

$$ S_n=2a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n. $$

При $$n\to +\infty$$ имеем $$\left(\frac{5}{9}\right)^n\to 0,$$ значит

$$ \lim_{n\to+\infty} S_n=2a^2. $$

Периметр после $$n$$ преобразований: число новых квадратов на каждом шаге равно числу сторон предыдущей фигуры, то есть

$$ k_n=c_{n-1}=4\cdot 5^{\,n-1}. $$

Длина стороны каждого нового квадрата уменьшается в $$3$$ раза на каждом шаге, поэтому

$$ a_n=\frac{a}{3^n}. $$

Следовательно, периметр фигуры после $$n$$ преобразований равен

$$ P_n=k_n a_n=4\cdot 5^{\,n-1}\cdot \frac{a}{3^n} =4a\left(\frac{5}{3}\right)^n\cdot \frac{1}{5}. $$

Так как $$\frac{5}{3}>1,$$ то при $$n\to+\infty$$ периметр неограниченно возрастает:

$$ P_n\to+\infty. $$

Ответ

а) $$S_n=2a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n$$; б) $$2a^2$$; в) $$P_n=4a\left(\frac{5}{3}\right)^n$$; г) $$P_n\to+\infty$$ при $$n\to+\infty$$.