Упр.4.43 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

После первого преобразования площадь исходного квадрата равна $$a^2,$$ а площадь, удаляемая на каждом шаге, образует геометрическую прогрессию со знаменателем $$\frac{5}{9}.$$

Сумма площадей всех удалённых квадратов после $$n$$ преобразований:

$$a^2\cdot \frac{4}{9}+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{9}+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^2+\cdots+a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \left(\frac{5}{9}\right)^{n-1}$$

Это сумма первых $$n$$ членов геометрической прогрессии, поэтому

$$S_{\text{уд}}=a^2\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{1-\left(\frac{5}{9}\right)^n}{1-\frac{5}{9}} =a^2\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right).$$

Тогда площадь фигуры после $$n$$ преобразований:

$$S_n=a^2-S_{\text{уд}}=a^2-a^2\left(1-\left(\frac{5}{9}\right)^n\right) = a^2+a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n.$$

Упростим:

$$S_n=2a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n.$$

При $$n\to +\infty$$ имеем $$\left(\frac{5}{9}\right)^n\to 0,$$ значит

$$\lim_{n\to+\infty} S_n=2a^2.$$

Периметр после $$n$$ преобразований: число новых квадратов на каждом шаге равно числу сторон предыдущей фигуры, то есть

$$k_n=c_{n-1}=4\cdot 5^{\,n-1}.$$

Длина стороны каждого нового квадрата уменьшается в $$3$$ раза на каждом шаге, поэтому

$$a_n=\frac{a}{3^n}.$$

Следовательно, периметр фигуры после $$n$$ преобразований равен

$$P_n=k_n a_n=4\cdot 5^{\,n-1}\cdot \frac{a}{3^n} =4a\left(\frac{5}{3}\right)^n\cdot \frac{1}{5}.$$

Так как $$\frac{5}{3}>1,$$ то при $$n\to+\infty$$ периметр неограниченно возрастает:

$$P_n\to+\infty.$$

Ответ

а) $$S_n=2a^2-a^2\left(\frac{5}{9}\right)^n$$; б) $$2a^2$$; в) $$P_n=4a\left(\frac{5}{3}\right)^n$$; г) $$P_n\to+\infty$$ при $$n\to+\infty$$.