Упр.4.42 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Пусть сторона квадрата равна $$a$$. Тогда площадь первого квадрата

$$S_1=\frac{a^2}{2}.$$

Каждый следующий квадрат имеет площадь в $$\frac12$$ раза меньше предыдущего, значит

$$S_2=\frac{a^2}{4}, \quad S_3=\frac{a^2}{8}, \quad \ldots$$

Получаем геометрическую прогрессию с первым членом $$S_1=\frac{a^2}{2}$$ и знаменателем $$q=\frac12$$.

Сумма площадей всех квадратов равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{a^2}{2}}{1-\frac12}=\frac{\frac{a^2}{2}}{\frac12}=a^2.$$

Если рассматривать сумму площадей первых четырёх квадратов, то

$$S_4=S_1+S_2+S_3+S_4=\frac{a^2}{2}\left(1+\frac12+\frac14+\frac18\right)=\frac{15a^2}{16}.$$

Ответ

$$S=a^2$$