Упр.4.37 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\lim_{n\to+\infty}(n^3-10n^2+2n)=\lim_{n\to+\infty}n^3\left(1-\frac{10}{n}+\frac{2}{n^2}\right).$$

   При $$n\to+\infty$$ имеем $$n^3\to+\infty$$ и $$1-\frac{10}{n}+\frac{2}{n^2}\to 1.$$ Тогда

   $$\lim_{n\to+\infty}(n^3-10n^2+2n)=+\infty.$$

2. $$\lim_{n\to+\infty}(n^4-100n^2-100)=\lim_{n\to+\infty}n^4\left(1-\frac{100}{n^2}-\frac{100}{n^4}\right).$$

   Так как $$n^4\to+\infty$$, а $$1-\frac{100}{n^2}-\frac{100}{n^4}\to 1,$$ то

   $$\lim_{n\to+\infty}(n^4-100n^2-100)=+\infty.$$

3. $$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n\to+\infty}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.$$

   Тогда

   $$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0.$$

4. $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2-6n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{(n^2+6n)-(n^2-6n)}{\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2-6n}}.$$

   Получаем

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2-6n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{12n}{\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2-6n}}.$$

   Вынесем $$n$$ из-под корня:

   $$\frac{12n}{\sqrt{n^2+6n}+\sqrt{n^2-6n}}=\frac{12n}{n\sqrt{1+\frac{6}{n}}+n\sqrt{1-\frac{6}{n}}}=\frac{12}{\sqrt{1+\frac{6}{n}}+\sqrt{1-\frac{6}{n}}}.$$

   При $$n\to+\infty$$ знаменатель стремится к $$2,$$ значит

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+6n}-\sqrt{n^2-6n}\right)=\frac{12}{2}=6.$$

Ответ

а) $$+\infty$$; б) $$+\infty$$; в) $$0$$; г) $$6$$.