Упр.4.31 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. б) Пусть $$a_n=\frac{2000}{n+10}.$$

   Нужно доказать, что для любого $$\varepsilon>0$$ найдётся номер $$N$$ такой, что при всех $$n>N$$ выполняется неравенство $$|a_n|<\varepsilon.$$

   Так как $$n>0,$$ то $$a_n>0,$$ и потому

   $$|a_n|=\frac{2000}{n+10}.$$

   Рассмотрим неравенство

   $$\frac{2000}{n+10}<\varepsilon.$$

   При $$\varepsilon>0$$ оно равносильно неравенству

   $$n+10>\frac{2000}{\varepsilon},$$

   то есть

   $$n>\frac{2000}{\varepsilon}-10.$$

   Значит, можно взять

   $$N=\frac{2000}{\varepsilon}-10.$$

   Тогда при всех $$n>N$$ будет выполнено $$|a_n|<\varepsilon,$$ следовательно, последовательность $$a_n$$ — бесконечно малая.

2. в) Пусть $$a_n=\frac{n}{n^2+1}.$$

   Для $$n>0$$ имеем $$a_n>0,$$ поэтому

   $$|a_n|=\frac{n}{n^2+1}.$$

   Оценим:

   $$\frac{n}{n^2+1}<\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}.$$

   Достаточно потребовать, чтобы

   $$\frac{1}{n}<\varepsilon,$$

   то есть

   $$n>\frac{1}{\varepsilon}.$$

   Следовательно, можно взять

   $$N=\frac{1}{\varepsilon}.$$

   Тогда при всех $$n>N$$ выполняется $$|a_n|<\varepsilon,$$ значит, последовательность $$a_n$$ — бесконечно малая.

Ответ

б) $$a_n=\frac{2000}{n+10}$$ — бесконечно малая; можно взять $$N=\frac{2000}{\varepsilon}-10.$$

в) $$a_n=\frac{n}{n^2+1}$$ — бесконечно малая; можно взять $$N=\frac{1}{\varepsilon}.$$