Упр.4.26 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть задана последовательность $$x_n$$. Если можно записать её в виде

$$x_n=a+a_n,$$

где $$a_n$$ — бесконечно малая последовательность, то по определению последовательность $$x_n$$ имеет предел и

$$\lim_{n\to\infty} x_n=a.$$

И наоборот, если

$$\lim_{n\to\infty} x_n=a,$$

то можно представить

$$x_n=a+a_n,$$

где

$$a_n=x_n-a,$$

а последовательность $$a_n$$ будет бесконечно малой, так как

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}(x_n-a)=\lim_{n\to\infty}x_n-a=a-a=0.$$

Следовательно, последовательность $$x_n$$ имеет предел тогда и только тогда, когда её можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой последовательности.

Примеры:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n-1}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1,$$

$$\lim_{n\to\infty}(a+a_n)=a,\quad \text{если } \lim_{n\to\infty} a_n=0.$$

Ответ

Последовательность $$x_n$$ имеет предел $$a$$ тогда и только тогда, когда её можно представить в виде $$x_n=a+a_n$$, где $$a_n$$ — бесконечно малая последовательность.