Упр.4.19 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

а)

$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}\cdot a^{-18}$$

Представим корни в виде степеней:
$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\left(a\cdot \sqrt{a\sqrt{a}}\right)^{1/2}=\left(a\cdot (a\cdot a^{1/2})^{1/2}\right)^{1/2}$$

Удобнее сразу перейти к показателям:
$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=a^{1/2}\cdot a^{1/4}\cdot a^{1/8}=a^{7/8}$$

Тогда
$$a^{7/8}\cdot a^{-18}=a^{7/8-18}=a^{7/8-144/8}=a^{-137/8}$$

б)

$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}:a^{-3/4}$$

Сначала упростим корень:
$$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}}=a^{1/2}\cdot a^{1/4}\cdot a^{1/8}\cdot a^{1/16}=a^{15/16}$$

Деление на $$a^{-3/4}$$ равносильно умножению на $$a^{3/4}$$:
$$a^{15/16}:a^{-3/4}=a^{15/16-(-3/4)}=a^{15/16+12/16}=a^{27/16}$$

в)

$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}:x^{-3/8}$$

Аналогично:
$$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}=x^{1/2}\cdot x^{1/4}\cdot x^{1/8}\cdot x^{1/16}=x^{15/16}$$

Тогда
$$x^{15/16}:x^{-3/8}=x^{15/16+3/8}=x^{15/16+6/16}=x^{21/16}$$

Ответ

а) $$a^{-137/8}$$; б) $$a^{27/16}$$; в) $$x^{21/16}$$.