Упражнение 37 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) $$|x+2|+x^2+6x+2=0$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x<-2$$, то $$|x+2|=-x-2$$. Тогда
$$-x-2+x^2+6x+2=0$$
$$x^2+5x=0$$
$$x(x+5)=0$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=-5$$. С учётом условия $$x<-2$$ подходит только $$x=-5$$.
2) Если $$x\ge -2$$, то $$|x+2|=x+2$$. Тогда
$$x+2+x^2+6x+2=0$$
$$x^2+7x+4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 4=49-16=33$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm \sqrt{33}}{2}$$
Из них условию $$x\ge -2$$ удовлетворяет только
$$x=\frac{-7+\sqrt{33}}{2}$$
б) $$|x+1|+x^2+4x-3=0$$
1) Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-x-1$$. Тогда
$$-x-1+x^2+4x-3=0$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1$$
С учётом условия $$x<-1$$ подходит только $$x=-4$$.
2) Если $$x\ge -1$$, то $$|x+1|=x+1$$. Тогда
$$x+1+x^2+4x-3=0$$
$$x^2+5x-2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-2)=25+8=33$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{33}}{2}$$
Из них условию $$x\ge -1$$ удовлетворяет только
$$x=\frac{-5+\sqrt{33}}{2}$$
в) $$(x-7)^2-|x-7|=30$$
Положим $$t=|x-7|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$t^2-t=30$$.
$$t^2-t-30=0$$
$$t_1=6,\quad t_2=-5$$
Так как $$t\ge 0$$, получаем $$t=6$$, то есть
$$|x-7|=6$$
$$x-7=6 \quad \text{или} \quad x-7=-6$$
$$x=13 \quad \text{или} \quad x=1$$
г) $$|x^2-3x|=2x-4$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$2x-4\ge 0 \Rightarrow x\ge 2$$
При $$x\ge 3$$ имеем $$|x^2-3x|=x^2-3x$$, тогда
$$x^2-3x=2x-4$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
С учётом $$x\ge 3$$ подходит только $$x=4$$.
При $$2\le x<3$$ имеем $$|x^2-3x|=-x^2+3x$$, тогда
$$-x^2+3x=2x-4$$
$$x^2-x-4=0$$
$$D=1+16=17$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$$
Из них условию $$2\le x<3$$ не удовлетворяет ни одно.