Упражнение 315 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Рассмотрим неравенство

$$\left(2a-1\right)x^2-\left(a+1\right)x-3a<0.$$

Найдём дискриминант:

$$ D=\left(a+1\right)^2+12a\left(2a-1\right) =a^2+2a+1+24a^2-12a =25a^2-10a+1 =\left(5a-1\right)^2. $$

Тогда корни уравнения

$$\left(2a-1\right)x^2-\left(a+1\right)x-3a=0$$

равны

$$ x_1=\frac{a+1+5a-1}{2\left(2a-1\right)}=\frac{3a}{2a-1}, \qquad x_2=\frac{a+1-5a+1}{2\left(2a-1\right)}=-1. $$

Следовательно,

$$ \left(2a-1\right)x^2-\left(a+1\right)x-3a =\left(2a-1\right)\left(x+1\right)\left(x-\frac{3a}{2a-1}\right). $$

По условию решения на рисунке рассматривается случай

$$1<a<2.$$

Тогда

$$3<2a+1<5,$$

и, в частности,

$$2a-1>0,\qquad \frac{3a}{2a-1}>-1.$$

Значит, при положительном старшем коэффициенте неравенство

$$\left(2a-1\right)\left(x+1\right)\left(x-\frac{3a}{2a-1}\right)<0$$

выполняется между корнями:

$$-1<x<\frac{3a}{2a-1}.$$

Ответ

$$x\in\left(-1;\frac{3a}{2a-1}\right).$$