Упражнение 311 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Пусть $$a=\sqrt{x-1}.$$ Тогда исходное выражение можно переписать так:

$$\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}.$$

Так как $$\sqrt{x-1}\ge 0,$$ то

$$\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}-1|,\qquad \sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|.$$

При этом $$\sqrt{x-1}+1>0,$$ значит

$$|\sqrt{x-1}+1|=\sqrt{x-1}+1.$$

Тогда

$$|\sqrt{x-1}-1|+\sqrt{x-1}+1=2.$$

Проверим область допустимых значений: $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

При $$\sqrt{x-1}\ge 1$$ имеем $$|\sqrt{x-1}-1|=\sqrt{x-1}-1,$$ и сумма равна $$2\sqrt{x-1},$$ что не подходит. Поэтому должно быть

$$\sqrt{x-1}-1<0,$$ то есть $$\sqrt{x-1}<1.$$

Тогда

$$1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1=2.$$

Следовательно, условие выполняется при

$$0\le \sqrt{x-1}<1,$$

то есть

$$1\le x<2.$$

Ответ

$$x\in[1;2).$$