Упражнение 31 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\frac{3+2a}{3-2a}\cdot\left(\frac{a-1}{a+1}\right)^4= \frac{3+2a}{3-2a}\cdot\frac{(a-1)^4}{(a+1)^4}$$

   Раскроем степени:
   $$\frac{3+2a}{3-2a}\cdot\frac{a^4-4a^3+6a^2-4a+1}{a^4+4a^3+6a^2+4a+1}$$

   После преобразований получаем:
   $$\frac{2a^5-5a^4+10a^2-10a+3}{2a^5-5a^4+10a^2+10a+3}$$

2. $$\left(\frac{\frac1a-a}{\left(\sqrt[3]{a}+a^{-1/3}+1\right)\left(a^{1/3}+a^{-1/3}-1\right)}+a^{-1/3}\right)^{-3}$$

   Приведём к общему виду и упростим выражение в скобках:
   $$\left(\frac{1-a^2}{a\left(a^{2/3}+a^{-2/3}+1\right)-1}+a^{-1/3}\right)^{-3}$$

   В результате получаем:
   $$a^{-3}$$

3. $$\frac{7\sqrt3\cdot\sqrt a-8\sqrt5\cdot\sqrt b}{6\sqrt3\cdot\sqrt a+6\sqrt5\cdot\sqrt b}\cdot \frac{3a-5b}{9a+15b+6\sqrt{15ab}}$$

   Заметим, что
   $$3a-5b=(\sqrt{3a}-\sqrt{5b})(\sqrt{3a}+\sqrt{5b})$$
   и
   $$9a+15b+6\sqrt{15ab}=3(\sqrt{3a}+\sqrt{5b})^2.$$

   Тогда после сокращения:
   $$\frac{7}{2}\left(\sqrt{3a}+\sqrt{5b}\right)$$

4. $$\sqrt{(1+x)^2}+\sqrt{(x-1)^2}=|1+x|+|x-1|$$

   При $$x\ge 1$$ имеем:
   $$|1+x|+|x-1|=(1+x)+(x-1)=2x.$$

5. $$\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1}}$$

   Преобразуем выражение под корнем:
   $$\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1= \frac{a^4-2a^2+1+4a^2}{4a^2}= \frac{(a^2+1)^2}{(2a)^2}$$

   Тогда
   $$a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1} =a\cdot\frac{a^2+1}{2a}=\frac{a^2+1}{2}.$$

   Следовательно,
   $$\frac{a^2+1}{a\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1}}=2.$$

Ответ

1) $$\frac{2a^5-5a^4+10a^2-10a+3}{2a^5-5a^4+10a^2+10a+3}$$;
2) $$a^{-3}$$;
3) $$\frac{7}{2}\left(\sqrt{3a}+\sqrt{5b}\right)$$;
4) $$2x$$ при $$x\ge 1$$;
5) $$2$$.