Упр.3.98 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

$$\sqrt[3]{N}$$ — иррациональное число при натуральном $$N$$.

Если $$\sqrt[3]{N}$$ было бы рациональным, то его можно было бы представить в виде $$\frac{m}{n}$$, где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$n \ne 0$$. Тогда

$$\left(\frac{m}{n}\right)^3=N,$$

то есть $$N$$ было бы кубом рационального числа. Но натуральное число может быть кубом рационального числа только тогда, когда оно является полным кубом целого числа. Следовательно, при произвольном натуральном $$N$$ выражение $$\sqrt[3]{N}$$, вообще говоря, иррационально.

Ответ: $$\sqrt[3]{N}$$ — иррациональное число при натуральном $$N$$.