Раздел3.9 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

Докажем, что если натуральное число $$m$$ не является $$n$$-й степенью натурального числа, то $$\sqrt[n]{m}$$ — иррациональное число.

Предположим противное: пусть $$\sqrt[n]{m}$$ — рациональное число. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

$$\sqrt[n]{m}=\frac{p}{q}, \quad p,q \in \mathbb{N}.$$

Возведём обе части в степень $$n$$:

$$m=\frac{p^n}{q^n},$$

откуда

$$q^n m=p^n.$$

Правая часть делится на $$q$$, значит и левая часть делится на $$q$$. Но $$q^n$$ уже делится на $$q$$, следовательно, число $$p^n$$ делится на $$q$$. Тогда и число $$p$$ делится на $$q$$, что невозможно, так как дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

Значит, наше предположение неверно, и число $$\sqrt[n]{m}$$ не может быть рациональным.

Следовательно, если $$m$$ не является $$n$$-й степенью натурального числа, то $$\sqrt[n]{m}$$ — иррациональное число.