Упр.3.8 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим функцию $$y=x^n$$.

а) Если показатель степени $$n$$ — целое неотрицательное число, то функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит

$$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

б) Свойства функции зависят от чётности показателя.

• Если $$n=2k+1$$, то функция нечётная, проходит через начало координат, возрастает на всей области определения.
• Если $$n=2k$$, то функция чётная, проходит через точку $$\left(0;0\right)$$, убывает при $$x\le 0$$ и возрастает при $$x\ge 0$$.

Также для любой степени $$n>0$$ верно:

• если $$x=0$$, то $$y=0$$;
• если $$x=1$$, то $$y=1$$;
• если $$x>0$$, то $$y>0$$;
• при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$;
• функция $$y=x^n$$ непрерывна.

в) Для отрицательных показателей $$n=-m$$, где $$m>0$$, получаем

$$y=x^{-m}=\frac{1}{x^m}.$$

Тогда функция определена при $$x\ne 0$$, а её свойства зависят от чётности $$m$$:

• если $$m=2k+1$$, то функция нечётная;
• если $$m=2k$$, то функция чётная;
• при $$x>0$$ функция положительна;
• при $$x\to 0$$ значение $$y$$ неограниченно возрастает по модулю;
• функция непрерывна на своей области определения.

Ответ

$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$ при $$n\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$; для функции $$y=x^n$$ свойства зависят от чётности показателя: при нечётном $$n$$ функция нечётная, при чётном $$n$$ — чётная; при отрицательном показателе $$n=-m$$ область определения $$x\ne 0$$.