Раздел3.4 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Пусть требуется найти корень уравнения вида $$x^n=a.$$

Если $$n$$ — нечётное число, то функция $$y=x^n$$ определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$, строго возрастает и принимает все действительные значения. Поэтому для любого $$a\in \mathbb{R}$$ уравнение $$x^n=a$$ имеет единственный действительный корень.

Этот корень обозначают так:

$$x=\sqrt[n]{a}.$$

Если $$n$$ — чётное число, то функция $$y=x^n$$ принимает только неотрицательные значения. Поэтому:

• при $$a>0$$ уравнение $$x^n=a$$ имеет два корня: $$x=\pm \sqrt[n]{a}$$;
• при $$a=0$$ уравнение имеет единственный корень $$x=0$$;
• при $$a<0$$ действительных корней нет.

Для обозначения корня чётной степени из неотрицательного числа используют запись:

$$\sqrt[n]{a}, \quad n\in \mathbb{N}, \quad a\ge 0.$$

Для обозначения корня нечётной степени из любого действительного числа используют запись:

$$\sqrt[n]{a}, \quad n\in \mathbb{N}, \quad a\in \mathbb{R}, \quad n \text{ нечётное}.$$

Ответ

Нечётный корень из любого действительного числа существует и единственен; чётный корень существует только из неотрицательного числа, причём при $$a>0$$ их два, при $$a=0$$ — один, при $$a<0$$ действительных корней нет.