Упр.3.102 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Пусть $$\sqrt[3]{2}=\frac{m}{n},$$ где $$m$$ и $$n$$ — целые числа, $$n\ne 0,$$ и дробь несократима.

Возведём равенство в куб:

$$ \sqrt[3]{2}=\frac{m}{n} \Rightarrow 2=\frac{m^3}{n^3} \Rightarrow m^3=2n^3. $$

Значит, $$m^3$$ делится на $$2,$$ а значит, и $$m$$ делится на $$2.$$ Пусть $$m=2k,$$ где $$k$$ — целое число. Тогда

$$ (2k)^3=2n^3 \Rightarrow 8k^3=2n^3 \Rightarrow n^3=4k^3. $$

Следовательно, $$n^3$$ тоже делится на $$2,$$ значит, и $$n$$ делится на $$2.$$ Но тогда и $$m,$$ и $$n$$ делятся на $$2,$$ что противоречит несократимости дроби $$\frac{m}{n}.$$

Значит, $$\sqrt[3]{2}$$ — иррациональное число.

б) Пусть $$\sqrt[3]{p}=\frac{m}{n},$$ где $$p$$ — простое число, $$m$$ и $$n$$ — целые, $$n\ne 0,$$ дробь несократима.

Возведём в куб:

$$ \sqrt[3]{p}=\frac{m}{n} \Rightarrow p=\frac{m^3}{n^3} \Rightarrow m^3=pn^3. $$

Так как $$p$$ — простое число и $$m^3$$ делится на $$p,$$ то $$m$$ делится на $$p.$$ Пусть $$m=pk,$$ где $$k$$ — целое число. Тогда

$$ (pk)^3=pn^3 \Rightarrow p^3k^3=pn^3 \Rightarrow p^2k^3=n^3. $$

Следовательно, $$n^3$$ делится на $$p,$$ значит, и $$n$$ делится на $$p.$$ Получаем, что и $$m,$$ и $$n$$ делятся на $$p,$$ что противоречит несократимости дроби $$\frac{m}{n}.$$

Значит, $$\sqrt[3]{p}$$ — иррациональное число.