Упр.3.101 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Пусть $$\frac{m}{n}$$ — рациональное число. Тогда
$$\left(\frac{m}{n}\right)^3=2,$$
откуда
$$m^3=2n^3.$$
Значит, $$m^3$$ делится на $$2$$, следовательно, $$m$$ делится на $$2$$. Пусть $$m=2k$$. Тогда
$$8k^3=2n^3,\qquad n^3=4k^3.$$
Отсюда $$n^3$$ тоже делится на $$2$$, значит, $$n$$ делится на $$2$$. Но тогда число $$\frac{m}{n}$$ несократимо не может быть одновременно кратно $$2$$ и в числителе, и в знаменателе. Противоречие.
Следовательно, $$\sqrt[3]{2}$$ — иррациональное число.
б) Пусть $$\frac{m}{n}$$ — рациональное число. Тогда
$$\left(\frac{m}{n}\right)^3=3,$$
то есть
$$m^3=3n^3.$$
Значит, $$m^3$$ делится на $$3$$, следовательно, $$m$$ делится на $$3$$. Пусть $$m=3k$$. Тогда
$$27k^3=3n^3,\qquad n^3=9k^3.$$
Отсюда $$n^3$$ делится на $$3$$, значит, $$n$$ делится на $$3$$. Получаем противоречие с тем, что дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима.
Следовательно, $$\sqrt[3]{3}$$ — иррациональное число.
в) Пусть $$\frac{m}{n}$$ — рациональное число. Тогда
$$\left(\frac{m}{n}\right)^3=4,$$
то есть
$$m^3=4n^3.$$
Значит, $$m^3$$ делится на $$4$$, следовательно, $$m$$ делится на $$2$$. Пусть $$m=2k$$. Тогда
$$8k^3=4n^3,\qquad 2k^3=n^3.$$
Отсюда $$n^3$$ делится на $$2$$, значит, $$n$$ делится на $$2$$. Это противоречит несократимости дроби $$\frac{m}{n}$$.
Следовательно, $$\sqrt[3]{4}$$ — иррациональное число.
г) Пусть $$\frac{m}{n}$$ — рациональное число. Тогда
$$\left(\frac{m}{n}\right)^3=5,$$
то есть
$$m^3=5n^3.$$
Значит, $$m^3$$ делится на $$5$$, следовательно, $$m$$ делится на $$5$$. Пусть $$m=5k$$. Тогда
$$125k^3=5n^3,\qquad n^3=25k^3.$$
Отсюда $$n^3$$ делится на $$5$$, значит, $$n$$ делится на $$5$$. Получаем противоречие.
Следовательно, $$\sqrt[3]{5}$$ — иррациональное число.