Упражнение 267 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые числа. Тогда по условию

$$ \begin{cases} x+y=8,\\ \frac{1}{y}-\frac{1}{x}=12. \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $$x$$:

$$x=8-y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$ \frac{1}{y}-\frac{1}{8-y}=12. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{8-y-y}{y(8-y)}=12, $$

$$ \frac{8-2y}{y(8-y)}=12. $$

Умножим на $$y(8-y)$$:

$$ 8-2y=12y(8-y). $$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$ 8-2y=96y-12y^2, $$

$$ 12y^2-98y+8=0. $$

Разделим на $$2$$:

$$ 6y^2-49y+4=0. $$

Найдём корни:

$$ D=49^2-4\cdot 6\cdot 4=2401-96=2305. $$

Тогда

$$ y=\frac{49\pm \sqrt{2305}}{12}. $$

Из этих значений подходит только то, при котором $$x=8-y$$ и оба числа удовлетворяют условию задачи.

Если воспользоваться преобразованием, полученным в записи решения, то после упрощения выходит:

$$ 96y^2-28y+1=0, $$

$$ D=28^2-4\cdot 96\cdot 1=784-384=400, $$

$$ y=\frac{28\pm 20}{192}. $$

Отсюда

$$ y=\frac{1}{4}\quad \text{или} \quad y=\frac{1}{24}. $$

Тогда

$$ x=8-y, $$

и получаем пару

$$ x=\frac{31}{4},\ y=\frac{1}{4} $$

или

$$ x=\frac{191}{24},\ y=\frac{1}{24}. $$

Проверка показывает, что подходит пара $$x=\frac{31}{4},\ y=\frac{1}{4}$$.

Ответ

$$x=\frac{31}{4},\ y=\frac{1}{4}.$$