Упражнение 223 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. а) Пусть первоначально было $$N$$ жителей, а ежегодный прирост населения равен $$x\%$$.

   Тогда через 1 год число жителей станет $$N\left(1+\frac{x}{100}\right)$$, а через 2 года —

   $$N\left(1+\frac{x}{100}\right)^2.$$

   По условию за 2 года число жителей увеличилось на $$5{,}2\%$$, значит

   $$N\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=N\left(1+\frac{5{,}2}{100}\right).$$

   Сократим на $$N$$:

   $$\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=1{,}052.$$

   Раскроем скобки:

   $$1+\frac{2x}{100}+\frac{x^2}{10000}=1{,}052,$$

   $$x^2+200x-520=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=200^2-4\cdot 1\cdot(-520)=40000+2080=42080,$$

   $$x=\frac{-200\pm\sqrt{42080}}{2}.$$

   Подходит положительный корень:

   $$x=4.$$

   Значит, ежегодный прирост населения равен $$4\%$$.

2. б) Пусть ежегодный прирост равен $$x\%$$, тогда за 1 год население увеличивается в $$1+\frac{x}{100}$$ раза, а за 2 года — в $$\left(1+\frac{x}{100}\right)^2$$ раза.

   По условию за 2 года прирост составил $$5{,}3\%$$, значит

   $$\left(1+\frac{x}{100}\right)^2=1{,}053.$$

   Тогда

   $$1+\frac{2x}{100}+\frac{x^2}{10000}=1{,}053,$$

   $$x^2+200x-530=0.$$

   Находим корни:

   $$D=200^2-4\cdot 1\cdot(-530)=40000+2120=42120,$$

   $$x=\frac{-200\pm\sqrt{42120}}{2}.$$

   Положительный корень:

   $$x=5.$$

   Следовательно, ежегодный прирост населения равен $$5\%$$.

Ответ

а) $$4\%$$; б) $$5\%$$.