Упражнение 207 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а)

   $$\cos^2 6x-\sin^2 3x-1=0$$
   $$\cos^2 6x-\left(\frac{1-\cos 6x}{2}\right)\left(\frac{1+\cos 6x}{2}\right)-1=0$$
   $$\cos^2 6x-\frac12\cos 6x-\frac12\cos 6x-1=0$$
   $$2\cos^2 6x+\cos 6x-3=0$$
   Пусть $$t=\cos 6x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
   $$2t^2+t-3=0.$$
   $$D=1+24=25,$$
   $$t_1=\frac{-1+5}{4}=1,\qquad t_2=\frac{-1-5}{4}=-\frac32.$$
   Так как $$t\in[-1;1]$$, подходит только $$t=1$$.
   Тогда
   $$\cos 6x=1,$$
   $$6x=2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\cos^2 4x+\sin^2 2x-1=0$$
   $$\cos^2 4x+\frac{1-\cos 4x}{2}-\frac12=0$$
   $$\cos^2 4x-\frac12\cos 4x-\frac12=0$$
   $$2\cos^2 4x-\cos 4x-1=0.$$
   Пусть $$t=\cos 4x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
   $$2t^2-t-1=0.$$
   $$D=1+8=9,$$
   $$t_1=\frac{1+3}{4}=1,\qquad t_2=\frac{1-3}{4}=-\frac12.$$
   Значит,
   $$\cos 4x=1 \quad \text{или} \quad \cos 4x=-\frac12.$$
   Отсюда
   $$4x=2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$
   или
   $$4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$6\sin 2x+\cos 2x-3=0$$
   $$3(1-\cos 2x)+\cos 2x-3=0$$
   $$-2\cos 2x=0,$$
   $$\cos 2x=0.$$
   Тогда
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$\cos^2\frac{x}{2}+2\cos\frac{x}{2}=\frac12$$
   $$2\cos^2\frac{x}{2}+4\cos\frac{x}{2}-1=0.$$
   Пусть $$t=\cos\frac{x}{2}$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и
   $$2t^2+4t-1=0.$$
   $$D=16+8=24,$$
   $$t_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{4}=\frac{-2\pm\sqrt6}{2}.$$
   Из них в промежутке $$[-1;1]$$ лежит только
   $$t=\frac{-2+\sqrt6}{2}.$$
   Значит,
   $$\cos\frac{x}{2}=\frac{-2+\sqrt6}{2},$$
   $$\frac{x}{2}=\pm\arccos\left(\frac{-2+\sqrt6}{2}\right)+2\pi n,$$
   $$x=\pm 2\arccos\left(\frac{-2+\sqrt6}{2}\right)+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. д)

   $$\sin^3 x-\cos^3 x+\sin x-\cos x=0$$
   $$\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin^2 x+\sin x\cos x+\cos^2 x\right)+\left(\sin x-\cos x\right)=0$$
   $$\left(\sin x-\cos x\right)\left(1+\sin x\cos x+1\right)=0$$
   $$\left(\sin x-\cos x\right)\left(\sin x\cos x+2\right)=0.$$
   Поэтому
   $$\sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x\cos x=-2.$$
   Второе уравнение решений не имеет, так как $$\sin x\cos x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$
   Тогда
   $$\sin x=\cos x,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=\pm 2\arccos\left(\frac{-2+\sqrt6}{2}\right)+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
д) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.