Упражнение 206 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$2\cos^2 x-4\sin 2x=-1$$

   Преобразуем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$ 2(1-\sin^2 x)-4\sin 2x+1=0 $$
   $$ -4\sin^2 2x-4\sin 2x+3=0 $$

   Пусть $$t=\sin 2x$$, тогда

   $$ -4t^2-4t+3=0 $$
   $$ 4t^2+4t-3=0 $$
   $$ D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8} $$
   $$ t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac32 $$

   Так как $$|\sin 2x|\le 1$$, то $$t_2=-\frac32$$ не подходит. Значит,

   $$ \sin 2x=\frac12 $$
   $$ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

2. б) $$3\cos 4x-5\sin 2x=-1$$

   Используем формулу $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x$$:

   $$ 3(1-2\sin^2 2x)-5\sin 2x+1=0 $$
   $$ -6\sin^2 2x-5\sin 2x+4=0 $$
   $$ 6t^2+5t-4=0,\quad t=\sin 2x $$

   $$ D=5^2-4\cdot 6\cdot(-4)=25+96=121 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-5\pm 11}{12} $$
   $$ t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac43 $$

   Так как $$|\sin 2x|\le 1$$, то $$t_2=-\frac43$$ не подходит. Следовательно,

   $$ \sin 2x=\frac12 $$
   $$ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

3. в) $$8\cos 6x-12\sin 3x=3$$

   Положим $$t=\sin 3x$$. Тогда $$\cos 6x=1-2\sin^2 3x=1-2t^2$$:

   $$ 8(1-2t^2)-12t=3 $$
   $$ -16t^2-12t+5=0 $$
   $$ 16t^2+12t-5=0 $$

   $$ D=12^2-4\cdot 16\cdot(-5)=144+320=464=16\cdot 29 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-12\pm 4\sqrt{29}}{32}=\frac{-3\pm \sqrt{29}}{8} $$

   Значение $$t_2=\frac{-3-\sqrt{29}}{8}<-1$$ не подходит. Поэтому

   $$ \sin 3x=\frac{-3+\sqrt{29}}{8} $$
   $$ 3x=(-1)^n\arcsin\frac{-3+\sqrt{29}}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac{-3+\sqrt{29}}{8}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z $$

4. г) $$5\cos 4x-6\sin 2x=-2$$

   Пусть $$t=\sin 2x$$, тогда $$\cos 4x=1-2t^2$$:

   $$ 5(1-2t^2)-6t=-2 $$
   $$ -10t^2-6t+7=0 $$
   $$ 10t^2+6t-7=0 $$

   $$ D=6^2-4\cdot 10\cdot(-7)=36+280=316=4\cdot 79 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{79}}{20}=\frac{-3\pm \sqrt{79}}{10} $$

   Подходит только

   $$ \sin 2x=\frac{-3+\sqrt{79}}{10} $$
   $$ 2x=(-1)^n\arcsin\frac{-3+\sqrt{79}}{10}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{-3+\sqrt{79}}{10}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac{-3+\sqrt{29}}{8}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac{-3+\sqrt{79}}{10}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$