Упражнение 205 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

1. а) $$3\sin^2 x+\cos 2x-1=0.$$

   Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем

   $$3\sin^2 x+1-2\sin^2 x-1=0,$$

   $$\sin^2 x=0,$$

   $$\sin x=0.$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$5\sin x+\cos 2x=1.$$

   Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

   $$5\sin x+1-2\sin^2 x=1,$$

   $$2\sin^2 x-5\sin x=0,$$

   $$\sin x(2\sin x-5)=0.$$

   Отсюда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=\frac52.$$

   Второе уравнение решений не имеет, так как $$\left|\sin x\right|\le 1.$$

   Значит,

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$\cos\frac{x}{3}=2\cos\frac{x}{6}-1.$$

   Положим $$t=\cos\frac{x}{6}.$$ Тогда

   $$\cos\frac{x}{3}=2\cos^2\frac{x}{6}-1=2t^2-1.$$

   Получаем

   $$2t^2-1=2t-1,$$

   $$2t^2-2t=0,$$

   $$2t(t-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$\cos\frac{x}{6}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{6}=1.$$

   1) Если $$\cos\frac{x}{6}=0,$$ то

   $$\frac{x}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=3\pi+6\pi n.$$

   2) Если $$\cos\frac{x}{6}=1,$$ то

   $$\frac{x}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=12\pi n.$$

4. г) $$1-\sin\frac{x}{6}=\cos\frac{x}{3}.$$

   Используем формулу $$\cos\frac{x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{6}.$$ Тогда

   $$1-\sin\frac{x}{6}=1-2\sin^2\frac{x}{6},$$

   $$2\sin^2\frac{x}{6}-\sin\frac{x}{6}=0,$$

   $$\sin\frac{x}{6}\left(2\sin\frac{x}{6}-1\right)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin\frac{x}{6}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{6}=\frac12.$$

   1) Если $$\sin\frac{x}{6}=0,$$ то

   $$\frac{x}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=6\pi n.$$

   2) Если $$\sin\frac{x}{6}=\frac12,$$ то

   $$\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$x=\pi+12\pi n \quad \text{или} \quad x=5\pi+12\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=3\pi+6\pi n,\ x=12\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=6\pi n,\ x=\pi+12\pi n,\ x=5\pi+12\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.