Упражнение 205 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$3\sin^2 x+\cos 2x-1=0.$$
Так как $$\cos 2x=1-2\sin^2 x,$$ получаем
$$3\sin^2 x+1-2\sin^2 x-1=0,$$
$$\sin^2 x=0,$$
$$\sin x=0.$$
Тогда
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$5\sin x+\cos 2x=1.$$
Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$5\sin x+1-2\sin^2 x=1,$$
$$2\sin^2 x-5\sin x=0,$$
$$\sin x(2\sin x-5)=0.$$
Отсюда $$\sin x=0$$ или $$\sin x=\frac52.$$
Второе уравнение решений не имеет, так как $$\left|\sin x\right|\le 1.$$
Значит,
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\cos\frac{x}{3}=2\cos\frac{x}{6}-1.$$
Положим $$t=\cos\frac{x}{6}.$$ Тогда
$$\cos\frac{x}{3}=2\cos^2\frac{x}{6}-1=2t^2-1.$$
Получаем
$$2t^2-1=2t-1,$$
$$2t^2-2t=0,$$
$$2t(t-1)=0.$$
Следовательно,
$$\cos\frac{x}{6}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{6}=1.$$
1) Если $$\cos\frac{x}{6}=0,$$ то
$$\frac{x}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=3\pi+6\pi n.$$
2) Если $$\cos\frac{x}{6}=1,$$ то
$$\frac{x}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=12\pi n.$$
г) $$1-\sin\frac{x}{6}=\cos\frac{x}{3}.$$
Используем формулу $$\cos\frac{x}{3}=1-2\sin^2\frac{x}{6}.$$ Тогда
$$1-\sin\frac{x}{6}=1-2\sin^2\frac{x}{6},$$
$$2\sin^2\frac{x}{6}-\sin\frac{x}{6}=0,$$
$$\sin\frac{x}{6}\left(2\sin\frac{x}{6}-1\right)=0.$$
Отсюда
$$\sin\frac{x}{6}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{6}=\frac12.$$
1) Если $$\sin\frac{x}{6}=0,$$ то
$$\frac{x}{6}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=6\pi n.$$
2) Если $$\sin\frac{x}{6}=\frac12,$$ то
$$\frac{x}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
$$x=\pi+12\pi n \quad \text{или} \quad x=5\pi+12\pi n.$$
Ответ
а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=3\pi+6\pi n,\ x=12\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=6\pi n,\ x=\pi+12\pi n,\ x=5\pi+12\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
