Упражнение 204 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$3\cos 2x+4+11\sin x=0.$$

Преобразуем $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$3(1-2\sin^2 x)+4+11\sin x=0,$$
$$-6\sin^2 x+11\sin x+7=0.$$

Пусть $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1].$$ Получаем:

$$-6t^2+11t+7=0,$$
$$6t^2-11t-7=0.$$

$$D=121+168=289,\quad \sqrt{D}=17.$$

$$t_{1,2}=\frac{11\pm17}{12}.$$

$$t_1=\frac{28}{12}=\frac73 \notin [-1;1], \qquad t_2=\frac{-6}{12}=-\frac12.$$

Значит,

$$\sin x=-\frac12.$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$1-8\cos x=6\cos^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$6\cos^2 x+8\cos x-1=0.$$

Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$t\in[-1;1].$$ Имеем:

$$6t^2+8t-1=0.$$

$$D=64+24=88.$$

$$t_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{88}}{12}=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{6}.$$

Из них только

$$t=\frac{-4+\sqrt{22}}{6}\in[-1;1].$$

Следовательно,

$$\cos x=\frac{-4+\sqrt{22}}{6}.$$

$$x=\pm \arccos\!\left(\frac{-4+\sqrt{22}}{6}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm \arccos\!\left(\frac{-4+\sqrt{22}}{6}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$