Упражнение 202 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) $$\cos 2x=\sin x$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

   $$ 1-2\sin^2 x=\sin x $$
   $$ 2\sin^2 x+\sin x-1=0 $$

   Пусть $$t=\sin x$$, тогда

   $$ 2t^2+t-1=0 $$
   $$ D=1+8=9 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4} $$
   $$ t_1=\frac12,\quad t_2=-1 $$

   Тогда

   $$ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
   $$ \sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2. б) $$3\cos^2 x+4\sin x=0$$

   Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$ 3(1-\sin^2 x)+4\sin x=0 $$
   $$ -3\sin^2 x+4\sin x+3=0 $$

   Пусть $$t=\sin x$$, тогда

   $$ -3t^2+4t+3=0 $$
   $$ 3t^2-4t-3=0 $$
   $$ D=16+36=52 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{4\pm 2\sqrt{13}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{13}}{3} $$

   Из них подходит только

   $$ \sin x=\frac{2-\sqrt{13}}{3} $$

   Следовательно,

   $$ x=(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt{13}}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

3. в) $$8\cos^2 x+16\cos x+7=0$$

   Пусть $$t=\cos x$$, тогда

   $$ 8t^2+16t+7=0 $$
   $$ D=256-224=32 $$
   $$ t_{1,2}=\frac{-16\pm \sqrt{32}}{16}=\frac{-4\pm \sqrt{2}}{4} $$

   Подходит только

   $$ \cos x=\frac{-4+\sqrt{2}}{4} $$

   Тогда

   $$ x=\pm \arccos\frac{-4+\sqrt{2}}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{2-\sqrt{13}}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm \arccos\frac{-4+\sqrt{2}}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$