Упражнение 201 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$5-3\cos 2x=8\sin x.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$ 5-3(1-2\sin^2 x)=8\sin x $$
$$ 6\sin^2 x-8\sin x+2=0 $$
$$ 3\sin^2 x-4\sin x+1=0. $$Пусть $$t=\sin x$$, тогда
$$ 3t^2-4t+1=0 $$
$$ D=16-12=4 $$
$$ t_{1,2}=\frac{4\pm 2}{6}. $$$$ t_1=1,\qquad t_2=\frac13. $$
Следовательно,
$$ \sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac13. $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z; $$
$$ x=(-1)^k\arcsin\frac13+\pi k,\ k\in\mathbb Z. $$б) $$\cos 2x+\sin x=1.$$
Преобразуем:
$$ 1-2\sin^2 x+\sin x=1 $$
$$ -2\sin^2 x+\sin x=0 $$
$$ \sin x(2\sin x-1)=0. $$Отсюда
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12. $$
$$ x=\pi n,\ n\in\mathbb Z; $$
$$ x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z. $$в) $$\cos 2x+6\sin x-5=0.$$
Используем $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$ 1-2\sin^2 x+6\sin x-5=0 $$
$$ 2\sin^2 x-6\sin x+4=0 $$
$$ \sin^2 x-3\sin x+2=0. $$Пусть $$t=\sin x$$, тогда
$$ t^2-3t+2=0 $$
$$ (t-1)(t-2)=0. $$С учётом области значений синуса получаем только
$$ \sin x=1. $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$
2) $$\cos 2x-5\sin x+6=0.$$
Преобразуем:
$$ 1-2\sin^2 x-5\sin x+6=0 $$
$$ 2\sin^2 x+5\sin x-7=0. $$Пусть $$t=\sin x$$, тогда
$$ 2t^2+5t-7=0 $$
$$ D=25+56=81 $$
$$ t_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}. $$$$ t_1=1,\qquad t_2=-\frac72. $$
Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, подходит только $$\sin x=1$$.
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\arcsin\frac13+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
