Упражнение 200 Повторение ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. $$\cos^2 x-\cos 2x=\sin x.$$
   Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$ \cos^2 x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\sin x $$
   $$ \sin^2 x=\sin x $$
   $$ \sin x(\sin x-1)=0. $$

   Тогда
   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1. $$
   Отсюда
   $$ x=\pi n,\ n\in\mathbb Z; $$
   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$

2. $$\cos 2x+\sin^2 x=\cos x.$$
   Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$ \cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=\cos x $$
   $$ \cos^2 x-\cos x=0 $$
   $$ \cos x(\cos x-1)=0. $$

   Тогда
   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1. $$
   Следовательно,
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z; $$
   $$ x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$

3. $$3\cos 2x=4-11\cos x.$$
   Обозначим $$t=\cos x$$, тогда $$\cos 2x=2t^2-1$$:

   $$ 3(2t^2-1)=4-11t $$
   $$ 6t^2+11t-7=0. $$

   $$ D=11^2-4\cdot 6\cdot(-7)=121+168=289,\quad \sqrt D=17. $$
   Тогда
   $$ t_{1,2}=\frac{-11\pm 17}{12}. $$
   Получаем
   $$ t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac{7}{3}. $$
   Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, значение $$-\frac73$$ не подходит. Значит,
   $$ \cos x=\frac12. $$

   Отсюда
   $$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$

4. $$2\cos^2 x-7\cos x=-2\sin^2 x.$$
   Используем $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$ 2\cos^2 x-7\cos x=-2(1-\cos^2 x) $$
   $$ 4\cos^2 x-7\cos x-2=0. $$

   Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда
   $$ 4t^2-7t-2=0. $$
   $$ D=49+32=81,\quad \sqrt D=9. $$
   $$ t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{8}. $$
   Получаем
   $$ t_1=2,\qquad t_2=-\frac14. $$
   Значение $$2$$ не подходит, поэтому
   $$ \cos x=-\frac14. $$

   Следовательно,
   $$ x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$