Упр.2.97 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} \dfrac{x-5}{x+2}<0,\\[4pt] \dfrac{x+7}{x-1}>0 \end{cases}$$
Для первой дроби: $$x=-2,\; x=5.$$ Тогда
$$\dfrac{x-5}{x+2}<0 \;\Rightarrow\; x\in(-2;5).$$
Для второй дроби: $$x=-7,\; x=1.$$ Тогда
$$\dfrac{x+7}{x-1}>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-7)\cup(1;+\infty).$$
Пересечение множеств:
$$x\in(-2;5)\cap\bigl((-\infty;-7)\cup(1;+\infty)\bigr)=(1;5).$$
б)
$$\begin{cases} \dfrac{x+4}{x-2}<0,\\[4pt] \dfrac{x+8}{x-7}>0 \end{cases}$$
Для первой дроби: $$x=-4,\; x=2,$$ значит
$$\dfrac{x+4}{x-2}<0 \;\Rightarrow\; x\in(-4;2).$$
Для второй дроби: $$x=-8,\; x=7,$$ значит
$$\dfrac{x+8}{x-7}>0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-8)\cup(7;+\infty).$$
Общих значений нет, поэтому решений нет.
в)
$$\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x^2+4}>0,\\[4pt] \dfrac{x-5}{x^2-4}<0 \end{cases}$$
Так как $$x^2+4>0$$ при любых $$x,$$ то
$$\dfrac{x^2-1}{x^2+4}>0 \;\Rightarrow\; x^2-1>0 \;\Rightarrow\; x<-1 \text{ или } x>1.$$
Второе неравенство:
$$\dfrac{x-5}{x^2-4}<0,\qquad x^2-4=(x-2)(x+2).$$
По знакам получаем
$$x\in(-\infty;-2)\cup(2;5).$$
Пересечение:
$$\bigl((-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\bigr)\cap\bigl((-\infty;-2)\cup(2;5)\bigr)=(-\infty;-2)\cup(2;5).$$
г)
$$\begin{cases} \dfrac{x^2-16}{x^2+1}<0,\\[4pt] \dfrac{x-1}{x^2-4}>0 \end{cases}$$
Так как $$x^2+1>0,$$ то
$$\dfrac{x^2-16}{x^2+1}<0 \;\Rightarrow\; x^2-16<0 \;\Rightarrow\; -4<x<4.$$
Второе неравенство:
$$\dfrac{x-1}{x^2-4}>0,\qquad x^2-4=(x-2)(x+2).$$
По знакам:
$$x\in(-2;1)\cup(2;+\infty).$$
Пересечение:
$$(-4;4)\cap\bigl((-2;1)\cup(2;+\infty)\bigr)=(-2;1)\cup(2;4).$$