Упр.2.91 ГДЗ Никольский 10 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а)
$$\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}\ge 0,$$
$$\frac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)}\ge 0,\qquad x\ne 3,\; x\ne -3.$$Сократим общий множитель $$x-3$$, учитывая ОДЗ:
$$\frac{x-1}{x+3}\ge 0,\qquad x\ne 3,\; x\ne -3.$$
Критические точки: $$x=-3,\; x=1,\; x=3.$$ По методу интервалов получаем:
$$x\in(-\infty;-3)\cup[1;3)\cup(3;+\infty).$$
б)
$$\frac{x^2-7x+10}{25-x^2}\le 0,$$
$$\frac{(x-5)(x-2)}{(5-x)(5+x)}\le 0.$$Так как $$25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5),$$ то
$$-\frac{(x-5)(x-2)}{(x-5)(x+5)}\le 0,$$
$$\frac{(x-5)(x-2)}{(x-5)(x+5)}\ge 0,\qquad x\ne 5,\; x\ne -5.$$После сокращения общего множителя $$x-5$$ получаем:
$$\frac{x-2}{x+5}\ge 0,\qquad x\ne 5,\; x\ne -5.$$
По методу интервалов:
$$x\in(-\infty;-5)\cup[2;5)\cup(5;+\infty).$$
в)
$$1-x\ge \frac{1}{x-3},\qquad x\ne 3.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$(1-x)-\frac{1}{x-3}\ge 0,$$
$$\frac{(1-x)(x-3)-1}{x-3}\ge 0.$$$$\frac{-x^2+4x-4}{x-3}\ge 0,$$
$$\frac{-(x-2)^2}{x-3}\ge 0,$$
$$\frac{(x-2)^2}{x-3}\le 0.$$Так как $$\,(x-2)^2\ge 0,$$ неравенство выполняется при $$x=2$$ и при $$x<3$$, но $$x\ne 3$$.
$$x\in(-\infty;3).$$
г)
$$\frac{5}{x}-4\le \frac{2x+3}{x-1},\qquad x\ne 0,\; x\ne 1.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{5(x-1)-4x(x-1)-(2x+3)x}{x(x-1)}\le 0,$$
$$\frac{5x-5-4x^2+4x-2x^2-3x}{x(x-1)}\le 0,$$
$$\frac{-6x^2+6x-5}{x(x-1)}\le 0.$$Числитель всегда отрицателен, так как
$$6x^2-6x+5>0$$
при любых $$x$$. Тогда
$$\frac{6x^2-6x+5}{x(x-1)}\ge 0.$$
Так как числитель положителен при любых $$x$$, нужно, чтобы
$$x(x-1)>0.$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-3)\cup[1;3)\cup(3;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;-5)\cup[2;5)\cup(5;+\infty)$$;
в) $$(-\infty;3)$$;
г) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$.
